B. 3) стороны треугольника равны 13, 13, 24 см, найти радиус вписанной в треугольник окружности .

Радиус вписанной окружности = площадь треугольника / полупериметр полупериметр = 1\2 * (13+13+24) = 1\2 * 50 = 25 см площадь найдем по формуле герона =  √р (р-а)(р-в)(р-с) (а,в и с - стороны треугольника площадь треугольника =  √25 * (25-13) (25-13) (25-24) =  √25 * 12 * 12 * 1 = 60 см² радиус вписанной окружности = 60 \ 25 = 2.4 см

Положим что z середина стороны bc . 1)тогда по теореме менелая для треугольника pzm секущая ac получаем cz/pc*pl/ml*am/az=1 , но az медиана , значит am/az=3/2, откуда pl=3ml*pc/(2cz) , значит pm=pl+ml=ml*(3pc+2cz)/(2cz) (*1) 2)по теореме менелая для треугольника bkp секущая az получаем bz/pz*pm/mk*ak/ab=1 либо , что тоже самое что cz/(pc+cz) * pm/mk * ak/ab = 1 откуда mk=pm*(cz/(pc+cz))*(ak/ab) (*2) выразим соотношение ak/ab через pc и cz . 3) по той же теореме для треугольника abc , секущая pk получаем bk/ak * (al/cl) * (pc/(pc+2cz)) = 1 . но (1/2)*(al/cl)*pc/(pc+cz)=1 (теорема менелая для треугольника acz) откуда al/cl=2(pc+cz)/pc . значит bk/ak=(pc+2cz)/(2pc+2cz) , откуда ak/ab=2(pc+cz)/(3pc+4cz) . 4) подставляя (*2) получаем mk=ml(3pc+2cz)/(3pc+4cz) (*3) 5) из (*1) а именно pm=ml*(3pc+2cz)/(2cz) по условию требуется доказать что 1/ml+1/mp=1/mk подставим 1/ml+2cz/(ml*(3pc+2cz)) = (3pc+4cz)/(ml*(3pc+2cz))= 1/mk откуда mk=ml(3pc+2cz)/(3pc+4cz) а это и есть (*3) доказанная ранее.

Чтобы выполнялось условие < bed=2< асв, построим на вершине с угол всf, равный двум углам с треугольника авс. проводя прямые параллельно прямой сf, мы видим, что если треугольник авс равнобедренный с основанием ас, то условие не может быть выполнено, поскольку прямая еd будет параллельна стороне вс треугольника при любом положении точки е на стороне вс и точка d будет лежать на продолжении стороны ав, а не на стороне, как дано в условии. значит < a должен быть больше < c. но в любом случае по теореме о неравенстве треугольника в треугольнике аес ас+ес> ae. остается доказать, что ad ≤ ae. рассмотрим остроугольный треугольник авс. продолжим прямую еd до пересечения с прямой са в точке р. угол а треугольника острый, значит угол  раd - тупой, а угол аdе - еще (как внешний угол, равный сумме двух внутренних, не смежных с ним. в треугольнике аdе тупым может быть только один угол и он - больший. против большего угла лежит большая сторона. значит ае> ad и ас+ес> ad, что и требовалось доказать. p.s. можно отметить, что при < a=90° решение будет таким же, так как < ade> 90°, а если < a> 90°, то возможен случай, когда ad> ae.