Вкубе abcda1b1c1d1 все ребра равны 4. на его ребре вв1 отмечена точка к так, что кв=3. через точки к и с1 проведена плоскость а(альфа), параллельная прямой вд1. докажите, что а1р: рb1=2: 1, где р - точка пересечения плоскости а(альфа) с ребром а1в1.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 4. На его ребре ВВ₁ отмечена точка К так, что КВ=3. Через точки К и С₁ проведена плоскость α параллельная прямой ВD₁. Докажите, что А₁Р:РВ₁=2:1, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром А₁В₁.

Вот на Ваш суд такой вариант (я его дал в

Треугольники ВОМ и AOD подобны по двум углам (<AOD=<BOM как вертикальные, а <OАD=<BMА как накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АМ). Коэффициент подобия равен k=BM/AD=1/2. Тогда ОМ=(1/3)*АМ, OD=(2/3)*AD.

Если речь идет о векторах, то мы видим, что вектор ОР=ОМ+МР, причем вектор ОМ=(1/3)*АМ = (1/3)(АВ+BM) = (1/3)(АВ+AD/2) =AB/3+AD/6. Вектор MP=MC+CP = AD/2-AB/2. Тогда

ОР=ОМ+МР = AB/3+AD/6+AD/2-AB/2 = (2/3)*AD - (1/6)*AB.

Или так: вектор ОР=ОD+DР, причем вектор ОD=(2/3)*BD.

Вектор BD=AD-AB. Тогда вектор OD=(2/3)*AD-(2/3)*AB.

ОР=ОD+DР = (2/3)*AD-(2/3)*AB+AB/2 = (2/3)*AD - (1/6)*AB.

Следовательно

ОР < (2/3)*AD + (1/6)*AB, что и требовалось доказать.

Если это прямоугольник, то при́ пересечении диагонали и стороны прямоугольника образуют попарно равные треугольники, кроме того, диагонали пересекаются ровно посередине, таким образом, треугольники равнобедренные. У таких треугольников углы, образованные катетом и гипотенузой между собой равны, таким образом, 1угол=2углу=52°, два угла вместе 52*2=104°, сумма всех углов треугольника равна 189°, отсюда 180-104=76° -это угол, образованный катетами- они же гипотенузы треугольника. Остальные углы просчитаны на картинке.