Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди з висотою 4см і бічним ребром 5см.

проекцией бокового ребра на основание будет радиус r окружности, описанной вокруг основания. поэтому сразу находим r = корень(5^2 - 4^2) = 3.

высота треугольника (в основании пирамиды) равна h = r*3/2 = 9/2;

боковая сторона равна   a = h/sin(60) = корень(3)*3;  

площадь основания s = a*h/2 =  корень(3)*27/4;

объем пирамиды v = s*h/3 = (корень(3)*27/4)*4/3 =  корень(3)*9

 

технически безукоризненный способ - из теоремы синусов

a = 2*r*sin(60) = 2*3*корень(3)/2 =  корень(3)*3; a^2 = 27.

s = a^2*sin(60)/2 =   27*корень(3)/4;

v = s*h/3 = (корень(3)*27/4)*4/3 =  корень(3)*9

1)треугольники alk=amn ( по 3 сторонам ak=an ( в равнобедренном треугольнике),al=am ( а- середина стороны), lm=mn ( противоположные стороны в параллелограмме это значит, что углы kla=nma, но в  параллелограмме противоположные углы также равны, значит  kla=nma=lkn=mnk. в параллелограмме сумма углов равна 360 градусов. из этого следует, что 360/4=90.

значит  kla=nma=lkn=mnk=90 градусам, значит наш  параллелограмм - прямоугольник.

2)

так как ромб - это симметричная фигура

следует, что относительно диагоналей ac и вd происходит симметрия =>

∆ abc = ∆ авсd

из первого пункта было сказано, что epkt является прямоугольником

значит, прямоугольник epkt симметрично накладывается на четырёхугольник meth, которые вследствие симметричности является также прямоугольником. а значит, весь четырехугольник мрkh является прямоугольником.

для точности докажем, что точки р и м, к и н симметричны относительно диагонали ас

∆ аре = ∆ аем - по катету и острому углу ( угол вас = угол саd - по свойству ромба ; ае - общая сторона )

значит, ав=сд

чтобы было нагляднее. давай продлим стороны вс и аd, чтобы было более понятно. если они не будут параллельны, то рано или поздно соприкоснутся, все уменьшая расстояние м/у собой. но в данном случае этого не происходит => вс||аd. пойдем далее. по св-у параллельных прямых: угол сва + угол ваd = 180 т.к.они односторонние. но второй угол нам извесетен => угол сва равен тоже 90 градусам. ну и потом на выбор: либо сказать про сумму углов в четырехугольнике, либо проделать то же самое доказательство с углом сdа. но мб ты спросишь: если будут равны ав и сd? тогда нужно было бы продлить эти стороны и доказывать тем же способом. не знаю в каком ты классе, но по свойствам параллелограмма, а затем прямоугольника можно было бы тоже сделать