Воду в басейні нагрівають електричним обігрівачем. Між зміною температури води T і часом нагрівання t існує залежність: T=6t+8 . 1. Накресли графік залежності T=6t+8 . За графіком визнач температуру води в басейні: через годину нагрівання: ; через дві години нагрівання: . 2. Визнач температуру води в басейні до початку підігріву: °C 3. Обчисли, через скільки годин після початку підігріву температура води в басейні буде дорівнювати 32°C. 4. Накресли в тій самій координатній площині графік, симетричний графіку залежності T=6t+8 відносно прямої T= 8 . За новим графіком визнач: a) значення T, якщо t=1. Tсим. (1) = ; b) значення T, якщо t=2. Tсим. (2) =

Для наглядности удобно провести некоторое соответствие с трехмерным пространством

Понятно что z(x,y) можно в нем изобразить как некоторую поверхность

Точке (1,4) соответствует , т.е. точка (*)

Линию удобнее записать как трехмерную кривую , что будет пересекать поверхность z(x,y) при x=1

Запишем уравнение касательной к этой кривой в точке , в качестве параметра берем переменную x

(#)

(вычисляется по аналогии с )

В прикрепленном файле нарисована поверхность, кривая и касательная.

Зная уравнение касательной, построим единичный вектор в направлении убывания x:

Пусть x=0, тогда из (#) получим точку

Соотв. единичный вектор в направлении этой точки из (*) имеет вид

Понятно что z компонента никак не повлияет на значение производной по направлению, формально вектор можно записать как

И, наконец, найдем искомую производную:

ответ:    1. Область допустимых значений переменной:

1 - cosx ≠ 0;

cosx ≠ 1;

x ≠ 2πk, k ∈ Z.

  2. Разложим на множители разность синусов по формуле:

     sina - sinb = 2sin((a - b)/2) * cos((a + b)/2);

(sinx - sin3x)/(1 - cosx) = 0;

sinx - sin3x = 0;

sin3x - sinx = 0;

2sin((3x - x)/2) * cos((3x + x)/2) = 0;

2sinx * cos2x = 0;

[sinx = 0;

[cos2x = 0;

[x = πk, k ∈ Z;

[2x = π/2 + πk, k ∈ Z;

[x = πk, k ∈ Z;

[x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.

  3. Пересечение с областью допустимых значений:

{x ≠ 2πk, k ∈ Z;

{[x = πk, k ∈ Z;

{[x = π/4 + πk/2, k ∈ Z;

[x = π + 2πk, k ∈ Z;

[x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.

  ответ: π + 2πk; π/4 + πk/2, k ∈ Z.