Из двух посёлков , расстояние между которыми 15км, вышли одновременно и пошли в противоположеных направлениях два лыжника. один из них шёл со скоростью 12км\ч, а другой - со скоростью 8 км\ч.какое расстояние было междуними через 2 часа?

12+8=20км/ скорость

20*2= между ними через 2 часа.

v1= v2=8км\ч

  <                                                   s=15км                                             >

1)12+8=20(км\ч)-общая скорость

2)20*2=40(км)-они прошли от поселков

3)15+40=55(км)

15+(12+8*2)=55

ответ: s=55км

 

 

область определения это все допустимы значения х

a)

дана дробь, в которой знаменатель имеет переменную х ,а также в знаменателе имеется корень⇒ знаменатель не может быть отрицательным ( так как вычленять из под корня отрицательные значения нельзя) и не может быть равен нулем(делить на ноль нельзя)

получаем  

√(6x-5)>0

6x-5>0

6x>5

x  ∈  (1.2;∞) ⇒ область определения (1.2;∞)

b)

тут тоже самое но √(x²-4x+3)≥0 (так как вычленять из под корня отрицательные значения нельзя)

x-2≠0 (делить на ноль нельзя)

x-2≠2 ⇒x≠2 ⇒  x ∈   (-∞;2) ∪ (2;∞)

√(x²-4x+3)≥0

x²-4x+3≥0

a=1>0 ⇒ интервал знакопостоянства таков

+  корень уравнения   -    корень уравнения    +

x²-4x+3=0

D=(-4)²-4×3×1=4

x=(4±√4)÷2=1  и 3

учитывая интервал и нестрогое неравенство

⇒ x ∈ (-∞;1] ∪ [3;∞)

теперь находим область определения

(  (-∞;1] ∪ [3;∞)  )   ∩    ( (-∞;2) ∪ (2;∞) ) = (-∞;1] ∪ [3;∞)

область определения  (-∞;1] ∪ [3;∞)

c)

тут уже логарифмы результат логарифмы не должен быть 0 а значит

х+2≠1  ⇒х≠2  ⇒ х ∈ ( -∞;-1) ∪ (-1;∞)

в числителе корень значит

√(х-4)≥0

x-4≥0

x ∈  [4;∞)

ищем область определения

[4;∞)  ∩  ( ( -∞;-1) ∪ (-1;∞) ) = [4;∞)

область определения   [4;∞)

* * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * *

Найти ∫ dx / (3sinx+4cosx)

ответ:   ( Ln | C(2tg(x/2)+1 ) /( tg(x/2) - 2 ) |  ) / 5

Пошаговое объяснение:  

sinx = 2t /(1+t²)

cosx = (1 - t²)/(1+t²)

dx = (2dt) / (1+t²).

∫ (2dt) /(1+t²)  / ( 6t / (1+t²) +4(1-t²) / (1+t²) )    =

= ∫ (dt) / ( 3t  +2(1-t²)  )    =  - ∫ (dt) / ( 2t² - 3t  -2 )  = - ∫ (dt) / ( t-2)(2t +1 )=

(1/5) *∫( 2/(2t+1) - 1/(t - 2) ) dt =(1/5)*[ ∫( (2dt) / (2t +1)  - ∫(dt ) /( t-2) ] =

(1/5)* ( Ln|2t+1| - Ln|t-2| +Ln|C| )= (1/5)*Ln |C(2t+1) / (t-2) |  =

( Ln | C(2tg(x/2)+1 ) /( tg(x/2) - 2 ) |  ) / 5 .   

Универсальная  замена  :   t =   tg(x/2)               ⇒      

dt =(1 / cos²(x/2) ) *(1/2) dx  =( 1+tg²(x/2) )*(1/2)*dx   dx = (2dt) / (1+t²)

sinx =  2sin(x/2)*cos(x/2)  = 2sin(x/2)*cos(x/2) / ( sin²(x/2) + cos²(x/2) )  =  2tg(x/2) / ( 1+tg²(x/2 )   = 2t /(1+t²)

cosx = (cos²(x/2) -sin²(x/2) )/( cos²(x/2) +sin²(x/2) ) =(1-tg²(x/2) )/(1+tg²(x/2)) = (1 - t²)/(1+t²) .