Точность наладки станка автомата, производящего некоторые детали, характеризуется дисперсией длины деталей. Если эта величина будет больше 400 мкм^2, станок останавливается для наладки. Выборочная дисперсия длинны 15 случайно отобранных деталей из продукции станка оказалась равной s^2=680 мкм^2. Нужно ли производить наладку станка, если уровень значимости α = 0, 01?

Для решения данной задачи, нам потребуются следующие шаги:

Шаг 1: Формулировка нулевой и альтернативной гипотезы.
Шаг 2: Выбор уровня значимости.
Шаг 3: Построение статистики и нахождение критической области.
Шаг 4: Принятие решения.
Шаг 5: Получение окончательного ответа на вопрос задачи.

Шаг 1: Формулировка нулевой и альтернативной гипотезы.
Нулевая гипотеза (H0): Дисперсия длины деталей станка равна 400 мкм^2.
Альтернативная гипотеза (H1): Дисперсия длины деталей станка больше 400 мкм^2.

Шаг 2: Выбор уровня значимости.
Уровень значимости α = 0,01.

Шаг 3: Построение статистики и нахождение критической области.
Для построения статистики воспользуемся распределением хи-квадрат.
Статистика будет иметь вид: X^2 = ((n - 1) * s^2) / σ^2, где n - выборочный объем, s^2 - выборочная дисперсия, σ^2 - гипотезируемая дисперсия.

Подставим значения в формулу: X^2 = ((15 - 1) * 680) / 400 = 25,2

Для нахождения критической области, нужно определить критическое значение хи-квадрат распределения со степенями свободы df = n - 1 = 15 - 1 = 14 и уровнем значимости α = 0,01.

Критическое значение хи-квадрат можно найти в таблице или с помощью статистического калькулятора. По таблице, критическое значение хи-квадрат для 14 степеней свободы и α = 0,01 будет равно 26,12.

Критическая область будет состоять из всех значений статистики X^2, больших критического значения 26,12.

Шаг 4: Принятие решения.
Если значение статистики X^2 попадает в критическую область (т.е. X^2 > 26,12), то нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной гипотезы. В противном случае, нулевая гипотеза принимается.

В данном случае, значение статистики X^2 = 25,2 не превышает критическое значение 26,12.

Шаг 5: Получение окончательного ответа на вопрос задачи.
Так как значение статистики X^2 не попадает в критическую область, то нулевая гипотеза принимается. Это означает, что наладка станка не требуется, так как дисперсия длины деталей не превышает 400 мкм^2.

Таким образом, наладку станка не нужно производить при заданном уровне значимости α = 0,01.