Вероятность сдать экзамен, отвечая на простой билет 2/3, а отвечая на сложный 1/6. Студент выбирает билет из пачки в которой 3 простых и 9 сложных билета. Известно, что студент сдал экзамен, какова вероятность, что он сдавал по простому билету?

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой условной вероятности.

Пусть A - сдать экзамен, B - сдавал по простому билету.
Мы хотим найти вероятность того, что студент сдал экзамен, при условии, что он отвечал на простой билет: P(B|A).

Из условия задачи известно, что вероятность сдать экзамен, отвечая на простой билет (P(A|B)) = 2/3, а вероятность сдать экзамен, отвечая на сложный билет (P(A|B')) = 1/6. Здесь B' - событие "отвечать на сложный билет" (дополнение к событию B).

Теперь используем формулу условной вероятности:

P(B|A) = (P(A|B) * P(B)) / P(A)

P(A) - общая вероятность сдать экзамен, можно найти как сумму произведений вероятности сдать экзамен при условии каждого типа билета и вероятности выбора каждого типа билета:

P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|B') * P(B')

P(B) - вероятность выбрать простой билет, можно найти как отношение количества простых билетов к общему количеству билетов:

P(B) = кол-во простых билетов / общее количество билетов

P(A|B) - уже известная нам вероятность сдать экзамен, отвечая на простой билет.

P(B') - вероятность выбрать сложный билет, можно найти как 1 - P(B):

P(B') = 1 - P(B)

Теперь подставим все известные значения в формулу и посчитаем:

P(B) = 3 / (3 + 9) = 3/12 = 1/4

P(B') = 1 - 1/4 = 3/4

P(A) = (2/3 * 1/4) + (1/6 * 3/4) = 1/6 + 1/8 = 7/24

P(B|A) = (2/3 * 1/4) / (7/24) = (2/12) / (7/24) = (2/12) * (24/7) = 48/84 = 4/7

Итак, вероятность того, что студент сдал экзамен, при условии, что он сдавал по простому билету, составляет 4/7 или около 0.571.