Можно ли раскрасить ребра додекаэдра в два цвета так, чтобы по ребрам каждого цвета можно было пройти из любой вершины в любую другую?

такой путь либо замкнут, либо его можно вытянуть в прямую, у которой только 2 конца (то есть только 2 точки, у которых есть "входящий" путь, но нет "исходящего"). само собой это касается обоих цветов, поэтому "концевых" точек не может быть больше 4.

в додекаэдре из каждой вершины выходит 3 ребра, то есть если для красного цвета эта вершина "проходная", то для синего - "концевая", которых (то есть "конецевых") не может быть больше 4 всего. явное противоречие, поэтому, как мне кажется - нельзя :

 

а вот в тетраэдре можно : ) 

Треугольник авс - прямоугольный, ∠в=90°, поскольку у в прямоугольнике все углы =90° сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника авс. ∠а+∠в+∠с=90° поскольку по условию cab=2*acb, значит в треугольнике авс ∠а=2*∠с, выходит 2*∠с+90°+∠с=180° 3*∠с=90° ∠с=30°. значит ∠а=2*∠с=2*30°=60°. рассмотрим прямоугольный треугольник авс дальше: ас-гипотенуза, ав и вс - это катеты cos ∠а=ав/ас sin ∠а=вс/ас cos ∠а=cos 60°=1/2=0,5 sin ∠а=sin 60°=√3/2=0,5√3 cos ∠а=ав/ас 0,5=ав/ас, отсюда ав=0,5ас=0,5*10см=5см sin ∠а=вс/ас 0,5√3=вс/ас, отсюда вс=0,5ас√3=0,5*10√3=5√3 см у прямоугольника противоположные стороны равны, значит ав=се=5 см вс=ае=5√3 см периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть периметр=ав+вс+се+ае периметр=5+ 5√3+ 5+5√3 периметр=10+10√3 периметр=10*(1+√3) см ответ: периметр прямоугольника = 10*(1+√3) см

Нам даны точки: а(1; 3; 9), в(-2; 4; 2) и с(3; 1; 0).вектора и модули: ав{-2-1; 4-3; 2-0} или ab{-3; 1; 2} . |ab|=√(9+1+4)=√14ac{3-1; 1-3; 0-0}   или ac{2; -2; 0} . |ac|=√(4+4+0)=√8.bc{3+2; 1-4; 0-2}   или bc{5; -3; -2} . |bc|=√(25+9+4)=√38.косинус угла между векторами находится по формуле: cosα= (xaxb+yayb+zazb)/|a|*|b|. в нашем случае: cosa=(-3*2+1*(-2)+2*0)/(√14*√8) =-2/√7≈-0,76. < a≈140°cosb=(-3*5+1*(-3)+2*(-2))/(√14*√38) =-11/√133≈-0,956.отрицательный косинус - это тупой угол. поскольку в треугольнике не может быть два тупых угла, берем острый угол между векторами, помня что  cos(180-α)=-cosα. < b=arccos(0,96) ≈17°.cosc=(10+6+0)/(√8*√38) =4/√19≈0,92. < c≈23°.ответ: < a=140°. < b=17°. < c=23°.