Уровнения второй степени с двумя переменными и их системы 443 решите систему

Чтобы решить данное уравнение выделим полные квадраты, используя формулы сокращённого умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²,  (a - b)² = a² - 2ab + b².

x² - 8x + y² + 12y + 52 = 0,

х² - 2 · 4 · х + 4² - 4² + у² - 2 · у · 6 + 6² - 6² + 52 = 0,

(x - 4)² - 16 + (y + 6)² - 36 + 52 = 0,

(x - 4)² + (y + 6)² = 0.

Т.к. левая часть принимает только неотрицательные значения при любых значениях переменных х и у, то сумма двух неотрицательных выражений равна 0 только тогда, когда каждое из слагаемых будет равно 0, т.е. при x - 4 = 0 и  y + 6 = 0, откуда x = 4, y = -6.

ответ: (4; - 6) или  x = 4, y = -6.

объяснение:

проверим случай p=5, уйдет квадратичная часть, но линейная останется, значит неравенство не будет выполняться для всех x.

при p не равном 5 график левой части неравенства представляет собой параболу, для того, чтобы неравенство было верно для любого x вся парабола должна лежать ниже оси абсцисс, т. е. ветви вниз(p-5< 0) и d(дискриминант)< 0.

d1=(2p-4)^2-4(p-5)(-p-3)=8p^2-24p-44< 0

2p^2-6p-11< 0

d2=36+88=124

p1=(3-sqrt(31))/2

p2=(3+sqrt(31))/2

d1< 0 при

эти значения p меньше пяти(т.е. ветви направлены вниз). заносим их в ответ.