Докажите, что: а) если функция монотонна на положительной части области определения, то она имеете противположный характер монотонности на отрицательно части области определения; б)если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то оан имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определиния.

Комбинированные уравнения, в состав которых входит хотя бы одна неограниченная функция, следует попробовать решить, применив свойство монотонных функций. возрастающие и убывающие функции называются монотонными. если на области определения уравнения f(x) = g(x) функция f(x) возрастает (убывает), а функция g(x) убывает (возрастает), то тогда уравнение не может иметь более одного корня. можно сказать конкретнее и понятнее. если функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает), а функция y = g(x) монотонно убывает (возрастает) на некотором промежутке и х – корень уравнения f(x) = g(x), то он единственный на этом промежутке. пример 1. решить уравнение . решение. область определения уравнения - все положительные числа ( ). кстати, для учеников существует проблема в применении понятий область определения уравнения и область допустимых значений (одз) переменной х. аббревиатура одз приобрела самостоятельную жизнь и применяют ее, не понимая сути, иногда путая с допустимыми значениями функции. любое уравнение можно к виду f(x) = 0 и считать уравнением частный случай функции у = f(x), когда она равна нулю. область определения этой функции или допустимые значения переменной х - и есть область определения уравнения или область допустимых значений неизвестной переменной в этом уравнении. очевидно, что - корень уравнения. функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения. функция монотонно убывает на всей области определения уравнения. следовательно, корень уравнения - единственный. ответ: 2. пример 2. решить уравнение: . решение. область определения уравнения: . функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения. функция монотонно убывает на всей области определения уравнения. определить, есть ли у этого уравнения корень, попробуем графически. построим графики функций в одной системе координат. из построенного графика видно, что функции пересекаются в точке . проверим, является ли число 1,5 корнем данного уравнения. ответ: 1,5. пример 3. решить уравнение: . решение. область определения уравнения: . функция монотонно убывает на всей области определения уравнения. координаты вершины параболы . квадратичная функция на области определения уравнения: а) монотонно убывает при . значения функции изменяются при этом на промежутке . значения функции при меняются следующим образом: . уравнение на этом промежутке корней не имеет. б) монотонно возрастает при . очевидно, что значит х = 4 – единственный корень данного уравнения. ответ: 4. когда доказано, что функция в левой части уравнения монотонно возрастает (убывает), а в правой части - монотонно убывает (возрастает), то единственный корень уравнения, если он имеется, находят любым доступным способом.

Sin(α-β)=sinαcosβ - cosαsinβ cosα=-0.8   α- 2-ая четверть sinα=√1-cos²α=√1-(0.8)²=√1-0.64=√0.36=0.6 sinβ= -  ¹²/₁₃     β - 3-ья четверть cosβ=√1-(¹²/₁₃)²=√1-¹⁴⁴/₁₆₉ =√²⁵/₁₆₉=⁵/₁₃ в третьей четверти cosβ - "-", значит cosβ= -  ⁵/₁₃ sin(α-β)=0.6* (-⁵/₁₃) - (-0.8)*(-¹²/₁₃)=-³/₁₃ - (⁴/₅)*(¹²/₁₃)= -  ³/₁₃ -  ⁴⁸/₆₅= -  ¹⁵/₆₅ -  ⁴⁸/₆₅ = =-⁶³/₆₅ б) tg 405=tg(360+45)= tg360+tg45     = 0+1   = 1                                   1-tg360*tg45         1-0*1

Y=3 - 2x - x² y = - x² - 2x + 3 1)    область определения  – множество значений х при которых функция имеет смысл.  область определения d(f) = ( -oo ; + oo) т.к. нет ограничений (нет деления на  переменную, нет корней и т.д.) заметим что графиком будет парабола    старший коэффициент отрицательный => ветви параболы направлены вниз.   2) найдем координаты вершины:   найдем значение функции в вершине        вершина ( -1 ; 4)    итак вершина в точке (-1; 4) и ветви вниз, значит это наибольшее значение. теперь легко определить область значений    значит область значений    e(f) = (-oo; 4] 3)    промежутки возрастания, убывания:         f(х) возрастает на ( -оо ; - 1 )        f(х) убывает на    ( - 1 ; +оо) 4)  нули функции:       - x² - 2x + 3 = 0        x² + 2x - 3 = 0  по теореме виета  x1+х2 = -2,  x1х2 = -3          x1 = -3            х2 =1                                          +                                            -                                                                    - 5) промежутки знакопостоянства:       f(х) > 0    при х∈ ( -3 ; 1)      f(х) <   0    при х∈ ( - oo ; -3) ∪ ( 1 ; +оо ) 6) точка пересечения с осью oy    ( 0; 3) также можно проводить исследование функции с производной.  но это уже другая тема.