Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

99\3=33 всех 33 числа составим арифм прогрессию

а1=3       а2=а1+d=6        a33=3+3(33-1)=3+ 96=99     s33=(a1+a33)*33\2

s33=102*33\2=1683

данные числа являются арифметической прогрессией, где а₁=3; а₃₃=99. соответственно d=-3)/32).

сумма членов арифметической прогрессии равна . в данном случае .

значит = = 1683.

ответ: 1683.

два поезда выехали одновременно навстречу друг к другу из пунктов а и в. по прибытии в пункт а и в они сразу начали двигаться в обратном направлении. первый раз они встретились в 180 км от пункта в, а во второй раз в 120 км от пункта а(через 6: 00 после первой встречи). найдите расстояние между пунктами а и в.

решение

пусть расстояние между пунктами а и в равно х км.

заметим, что с момента старта до первой встречи поезда проехали в сумме расстояние, равное х.

с момента старта до второй встречи суммарное расстояние, которое проехали поезда, равно 3х(каждый поезд проезжает между пунктами а и в, и еще одно такуе расстояние они проезжают вдвоем при движении

от пунктов а и в до места второй встречи).

поэтому время до первой встречи в два раза меньше времени от первой до второй встречи поездов.

следовательно расстояние преодоленное каждым поездом от момента старта до первой встречи в два раза меньше расстояния,

которое тот же самый поезд проезжает за время между первой и второй встречами.

составим таблицу из выше выше решения

                                          пройденный путь

                                      ! 1 встреча! 2 встреча! за 6 ч ! за 3 ч

1 поезд(из в)                ! 180          ! х + 120    ! х - 60 ! 180

2 поезд(из а)                ! х-180        ! 2х - 120    ! х + 60 ! х-180

всего                              ! х              ! 3х            ! 2х        ! х

пусть до первой встречи 1 поезд проехал 180 км. тогда между первой и второй встречами он проехал

х – 60 = 2•180.

х - 60 = 360

х = 420 км

ответ: 420 км

расстояние между двумя станциями, равное 420 км, поезд должен был преодолеть за определенное время. когда он прошел 4/7 этого расстояния, то увеличил свою скорость на 5 км/час. с какой скоростью двигался поезд на каждом участке движения, если на весь путь он потратил 10 часов?

первый участок движения: s₁ = 420*4/7 = 240 (км)

второй участок движения: s₂ = 420-240 = 180 (км)

скорость движения поезда на первом участке: v₁ км/ч

скорость движения поезда на втором участке: v₂ = v₁+5 км/ч

время движения на первом участке: t₁ = s₁/v₁ = 240/v₁ (ч)

время движения на втором участке: t₂ = s₂/(v₁+5) = 180/(v₁+5) (ч)

по условию:

t₁ + t₂ = 10 (ч)

тогда:

240/v₁ + 180/(v₁+5) = 10

240(v₁+5) + 180v₁ = 10v₁(v₁+5)

240v₁ + 1200 + 180v₁ - 10v₁² - 50v₁ = 0

v₁² - 37v₁ - 120 = 0 d = b²-4ac = 1369+480 = 1849 = 43²

v₁₁ = (37+43)/2 = 40 (км/ч)

v₁₂ = (37-43)/2 = -3 - не удовлетворяет условию

v₂ = v₁+5 = 45 (км/ч)

ответ: 40 км/ч - на первом участке; 45 км/ч - на втором