I.является ли пара чисел (1; 1) решением линейного уравнения с двумя переменными? 1)7х+3у-10=0; 2)6х-2у=4

Да. 1)7+3-10=0=10-10=0 верно. 2)6-2=4 верно.

запишем эту сумму для произвольного числа слагаемых:

вычислим значения s(k) для нескольких значений k:

тогда можно предположить, что

но это ещё надо доказать. используем индукцию. выше было показано, что равенство верно для первых 3 натуральных k. докажем, что из справедливости равенства для k=n следует справедливость равенства для k=n+1, тогда равенство можно будет считать справедливым для всех натуральных k.

итак, предположим, что справедливо равенство

проверим, верно ли, что

подставляем сюда предыдущее выражение:

получили верное равенство. теперь можно вычислить значение нашей суммы:

пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. докажите неравенство:    

решение 1

заметим, что       (мы использовали неравенство       между средним арифметическим и средним гармоническим для положительных x, y). осталось сложить три аналогичных неравенства.

решение 2

  не умаляя общности, можно считать, что   a ≥ b ≥ c,   тогда   1 – c² ≥ 1 – b² ≥ 1 – a²   и, следовательно,  

  заметим, что     таким образом, нужно доказать неравенство  

  поскольку сумма числителей равна 0, неравенство будет доказано, если мы заменим знаменатели на равные таким образом, что каждая дробь при этом не увеличится. если   a ≥ b ≥ ⅓ ≥ c,   то заменим все знаменатели на   1 – c²,   в результате отрицательное слагаемое не изменится, а положительные не увеличатся. если   a ≥ ⅓ b ≥ c,   то заменим все знаменатели на   1 – b²,   тогда положительное слагаемое и одно из отрицательных только уменьшатся, а второе отрицательное слагаемое останется неизменным.

выбирай 1 или 2