Как найти остаток от деления 30^239 на 31?

30 = 31 - 1 30^239 = (31 - 1)^239 = (раскладываем в бином ньютона, например) = (-1)^239 + 31*a a - какое-то целое число т.к. 30^239 = -1 + 31*a, то остаток от деления на 31 числа 30^239 совпадает с остатком от деления -1 на 31, т.е. равен 30 еще можно сослаться на малую теорему ферма: 30^(31-1) дает остаток 1 при делении на 31, тогда (30^240)=(30^30)^8 дает также остаток 1 при делении на 31. тогда 30^239 дает остаток 30.

Пусть один из заводов выполняет некоторый заказ  за х дней, тогда другой за  у  дней . у-x=4обозначим всю работу за 11/х часть работы выполняет первый за день,1/у часть работы выполняет другой за день.за 24 дня первый выполнит 24·, за 24 дня второй выполнит 24·при этом объем работы в 5 раз больше.составим  систему уравнений: выразим у из первого уравнения и подставим во второеу=х+4х≠0 х≠424(х+4)+24х =5х(х+4)24х+96+24х=5х²+20х5х²-28х-96=0d=(-28)²-4·5·(-96)=784+1920=2704=52²x=(28-52)/10=-2,4< 0      или      х=(28+52)/10=8тогда у=х+4=8+4=12ответ. первый завод выполнит работу за 8 дней, второй за 12 дней

Возьмём одну сторону треугольника за x, а вторую - за y. тогда получим, что   x + y =16 выразим отсюда x: x = 16 - y так же, из теоремы косинуса, получим: 14² = x²+y² - 2xy*cos120° 196 = x² + y² + xy подставим сюда x из первого уравнения: 196 = (16 - y)² + y² + y(16 - y) 196 = 256 - 32y + y² + y² +16y -  y² y² - 16y + 60 = 0 d = 256  -  240    = 4² y₁ = 10 y₂ = 6 x₁ = 6 x₂ = 10 получаем, что стороны треугольника равны 6, 10 и 14. меньшая из них - 6. ответ:   6