Прогрессия bn задана формулой n - го члена bn = 2*2^n-1 . укажите третий член этой прогрессии.

Формула n члена геом.прогрессии bn=b₁q^n-1 отсюда из нашей заданной формулы  b₁=3 q=2 b₃=3*q²=3*2²=12

Xy+2x = y+4; xy+2x - y = 4; xy+2x - y - 2 = 4-2 = 2; x*(y+2) - (y+2) = 2; (y+2)*(x-1) = 2, мы ищем целочисленные решения, это значит, что x и y - целые по условию. тогда и (y+2) и (x-1) являются целыми и произведение этих чисел тоже целое. рассмотрим все способы того, как двойку можно разложить в произведение двух целых чисел (с учетом порядка) 2 = 1*2 = 2*1 = (-1)*(-2) = (-2)*(-1). всего четыре способа. 1) y+2=1 и x-1 = 2, < => y=-1 и x=3. 2) y+2=2 и x-1 = 1,< => y=0 и x=2. 3) y+2=-1 и x-1 = -2, < => y= -3 и x=-1. 4) y+2= -2 и x-1=-1, < => y= -4 и x=0. таким образом, решениями являются следующие пары (x,y) (3; -1), (2; 0), (-1; -3), (0; -4).

Можно использовать метод док-ва от противного, предположив, что b > a или что b-a=c> 0. b = c+a b^2=c^2+2ac+a^2 a^2-b^2 = -c^2-ac. левая часть по условию > 0, значит и правая тоже. запишем -c^2-ac > 0 при положительных а и с имеем положительные c^2 > 0 и ac> 0. приплюсуем их и слева и справа к обеим частям неравенства. -c^2-ac + c^2 +ac > c^2+ас. получим 0> c^2+ас, что неверно. значит исходное b> a неверно. поскольку а не равно b (иначе разность квадратов нулевая) , остаётся что верно только a> b. другой способ. дано a> 0, b> 0, a^2-b^2> 0. пусть a^2-b^2 = n > 0 тогда легко вычислить с=n/(2a+2b), причем ясно, что c> 0, так как все числа положительны. запишем тогда n=c(2a+2b) и тогда a^2-b^2 = c(2a+2b) > 0 a^2 - 2ac =b^2 +2bc дополним левую часть до квадрата. a^2 - 2ac +с^2 =b^2 +2bc +c^2 (a-c)^2=(b+c)^2 следовательно (a-c)=(b+c) a-b = 2c > 0 a-b > 0 или a> b, что и тр. док-ть.