Yy'+x=1 (решите дифференциальные уравнения)

Y^2+x^2-2x+c=0 y=sqrt(2x+c-x^2)

Из   условия делимости n и k целые числа. 2x+1=yk 2y+1=xn   очевидна нечетность 2x+1   и 2y+1 откуда   n,k,x,y   нечетные числа выразим: x=(yk-1)/2 4y+2=2xn=(yk-1)n 4y+2=ykn-n 2+n=y(kn-4) из   симетрии   : 2+k=x(nk-4) откуда   2+n   делится на nk-4 и 2+k   делится на nk-4 при k> 7 n> 7  2+n< nk-4   2+k  < nk-4 ,что неверно тк   меньшее число не делится на большее. откуда:   k< =7   n< =7 в силу нечетности k и n верно   что k=1,3,5,7 n=1,3,5,7 1) при   k=7  и  k=5  тогда   если n> 1 2+n< kn-4 что   невозможно тк меньшее   число не делится на большее. то возможно только   n=1 k=7 2+n=kn-4 то y=2+n/kn-4=1 подставим: 2+1=xn=x   x=3 (3; 1)   решение. в   силу симетрии (1; 3)   решение k=5 при   n=1 2+n=3 kn-4=1       y=3   1+6=nx x=7   (3; 7) решение 2)k=3    при n> 3 2+n< nk-4   что   невозможно если n=3 верно   равенство 2+n=nk-4 y=1 подставим: 2+1=nx=3x x=1 (1; 1) решение n=2 n+2=4  nk-4=2 делится то есть   у=4/2=2 подставим: 2*2+1=xn   5=2x x=5/2   невозможно. n=1 n+2=3 kn-4=-1   невозможно тк x> 0 3)cамый   замудренный   вариант. k=1   n+2 должно   делится на   n-4   y=n+2/n-4=   n-4+6/n-4=1+6/n-4 то   есть n-4=1   n-4=2   n-4=3 n-4=6 то   есть возможны варианты: n=5 y=7   n=6   y=4   n=7 y=3     n=10 x=2 но   тк n< 7 (при   n=7   это   и есть   вариант (1; 3)) то возможны 1   два варианта подставим; n=5 y=7 2*7+1=5x 15=5x x=3   (7; 3)   (3; 7) решение n=6   y=4 9=6x   невозможно ответ: (1; ; ; ; ; 7)

Решение, построенное на другой идее. начнем с глупого утверждения. глупое утверждение. x и y взаимно просты. доказательство. пусть x и y делятся на d > 1. но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1. теперь можно перемножить сравнения, получим, что (2x + 1)(2y + 1) делится на xy. 4xy + 2(x + y) + 1 делится на xy 2(x + y) + 1 делится на xy из последнего следует, что 2(x + y) + 1 > = xy xy - 2x - 2y < = 1 (x - 2)(y - 2) < = 5 пусть для определенности x > = y. тогда достаточно рассмотреть такие случаи: 1) y = 1. тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3. 2) y = 2. тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2. 3) y = 3. тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3. 4) y > =  4. тогда x - 2 < = 5/2, т.е. x < = 4. последнее невозможно в силу ограничений на x. ответ. (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 7), (7, 3).