3(a-+4) выражение и найдите его значение при а= -1, 5

этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда о двузначном числе к модели, представляющей собой систему уравнений. эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).

алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.

1. выразить у через х из одного уравнения системы.

2. подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.

3. решить полученное уравнение относительно х.

4. подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.

5. записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.

пример 1. решить систему уравнений

система уравнений

решение.

1) выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.

2)подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.

3)решим полученное уравнение:

система уравнений

4) подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - зу. если al63.jpg то уравнение

5)     пары (2; 1) и al65.jpg решения заданной системы уравнений.

ответ: (2; 1); al65.jpg

метод сложения

этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. суть метода напомним на следующем примере.

пример 2. решить систему уравнений

система уравнений

решение.

умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: система уравнений

вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:

система уравнений

в результате сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:

система уравнений

эту систему можно решить методом подстановки. из второго уравнения находим уравнение подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим

система уравнений

осталось подставить найденные значения х в формулу формула

если х = 2, то

решение

таким образом, мы нашли два решения системы: решение

ответ:   ответ

метод введения новых переменных

с методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе 8-го класса. суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.

пример 3. решить систему уравнений

система уравнений

решение. введем новую переменную al617.jpg тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: уравнение решим это уравнение относительно переменной t:

в таких уместно пользоваться следующим правилом: каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много значений, которые отличаются друг от друга на 2пк, где к - целое число. это значит, что sin (t + 2пк) = sin t. аналогично cos (t + 2пк) = cos t. используем это в : 200п/3 = 66п + 2п/3= 33•2п + 2п/3. здесь параметр к равен 33, то есть мы 33 раза прошли полную окружность и пришли в точку 2п/3. делаем вывод: числу 200п/3 соответсвует число 2п/3. найдём синус и косинус 2п/3: sin 2п/3 = √3 / 2. cos 2п/3 = -1/2