№1. сократите дробь, указав общий множитель числителя и знаменателя: а)15/25; б)27/36; в)36/81; г)17/34; д)5/10; е)45/60

15/25=3/5, общий множитель 5 27/36=3/4, общий множитель 9 36/81=4/9, общий множитель 9 17/34=1/17, общий множитель 17 5/10=1/2, общий множитель 5 45/60=3/4, общий множитель 15

1. При каких значениях а уравнение sin ^2 x - (a+3) sin x + 3a = 0 не имеет решений ?

2. Решите уравнение cos ^2 x + cos 4x = a , если одно из его решений п/3

Участник Знаний

1. Квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен.

\sin^2x-(a+3)\sin x+3a=0\\\sin x=t,\;\sin^2x=t^2,\;-1\leq t\leq1\\t^2-(a+3)t+3a=0\\D=(-(a+3))^2-4\cdot1\cdot3a=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2\\(a-3)^2

Последнее неравенство не имеет решений. Значит, исходное уравнение имеет решение (-ия) при любых а.

2.\;\cos^2x+\cos4x=a\\\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\\\cos^2x+8\cos^4x-8\cos^2x+1=a\\8\cos^4x-7\cos^2x+(1-a)=0\\\cos^2x=t,\cos^4x=t^2,\;0\leq t\leq1\\8t^2-7t+(1-a)=0\\D=49-4\cdot8\cdot(1-a)=49-32+32a=17+32a\\t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}

Один из корней п/3, значит x=\frac\pi3\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow\cos^2x=t=\frac14

\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\Rightarrow\begin{cases}\frac{7+\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\\\frac{7-\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{7+\sqrt{17+32a}}=4\\{7-\sqrt{17+32a}}=4\end{cases}\Rightarrow\\

\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{17+32a}=-3\\\sqrt{17+32a}=3\end{cases}\Rightarrow 17+32a=9\Rightarrow32a=-8\Rightarrow a=-\frac14=-0,25\\t_1=\frac{7+\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7+\sqrt{9}}{16}=\frac{10}{16}=\frac58\\t_2=\frac{7-\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7-\sqrt{9}}{16}=\frac{4}{16}=\frac14\\\cos^2x=\frac14\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\\cos^2x=\frac58\Rightarrow\cos x=\sqrt{\frac58}\Rightarrow x=\arccos\left(\sqrt{\frac58}\right)+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}

Объяснение:

Пример: решить уравнение  x  2+  14x  +  45  =  0  решение:   разложим многочлен на множители методом  выделения полного квадрата.для применения первой формулы  необходимо получить выражение x2+  14x  +  49  =  0.поэтому прибавим и отнимем от многочлена  x2+  14x  +  45  число  4, чтобы выделить полный квадрат  x  2+  14x  +  45+4−4  =0    (x  2+  14x  +  45+4)−4=0(x  2+  14x  +  49)−4=0(x+7)2−4=0применим формулу «разность квадратов»  a2−b2=(a−b)⋅(a+b)  (x+7)2−22=0(  x  +  7  –  2  ) (  x  +  7  +  2  ) =  0(  x  +  5  ) (  x  +  9  ) =  0x  +  5  =  0                x  +  9  =  0x1  = –  5                    x2  = –  9 ответ:   –9; –5.пример: решить уравнение  x2  −  6x  −  7  =  0решение: выделим в левой части полный квадрат.для применения второй формулы  необходимо получить выражение  x2  −  6x  +9  =  0 поэтому запишем выражение  x2  −  6x  в следующем виде:   x2−6x  =x2−2⋅x⋅3 в полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа  x, а второе - удвоенное произведение  x  на  3.чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить  32 итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения  32, чтобы выделить полный квадрат. x2  −  6x  −  7  =  x2  −  2⋅  x  ⋅3  +  32  −  32  −  7  = (x2  −  2⋅  x  ⋅3  +  32  )  −  32  −  7  ==(x  −  3)2  −  9  −  7  =  (x  −  3)2  −  16. подставим в уравнение и применим формулу  a2−b2=(a−b)⋅(a+b). (x  −3)2−16=0(x  −3)2=16x  −3=4x  −3=  −4x=3+4x  =  3−4x1=7x2=  −1 ответ: –1; 7.