Доказать что модуль х-у/1-ху меньше 1, если модуль х и модуль у меньше 1

нужно доказать, что

так как левая и правая части неотрицательны, это неравенство равносильно следующему (поднесем обе части к квадрату, чтобы избавиться от модуля так как |a|^2=a^2)

 

 

так как (0 не может быть потому что знаменатель не может быть равным 0, а квадрат выражения всегда неотрицателен),

то нужно доказать что справедливо неравенство

то справедливо так как (y^2-1< 0; y^2< 1; |y|< 1) (|x|< 1; x^2< 1; 1-x^2> 0)

(один из множителей отрицателен, другой положителен - значит и произведение отрицательное).

таким образом цепочкой равносильных преобразований мы пришли к справедливому неравенству. доказано

1)f(x)=x³-x²-x+8 f`(x)=3x²-2x-1=0 d=4+12=16 x1=(2-4)/6=-1/3  x2=(2+4)/6=1         +            _                + возр    -1/3 убыв    1  возр x∈(-∞; -1/3) u (1; ∞) 2)f(x)=x³-6x² f`(x)=3x²-12x=3x(x-4)=0 x=0  x=4       +            _                +             0                4             max            min ymax(0)=0      ymin(4)=64-96=-32 3)f(x)=1/3x³-4x f`(x)=x²-4=(x-2)(x+2)=0 x=2∈[0; 3]  x=-2∉[0; 3] f(0)=0  max f(2)=8/3-8=-16/3  min f(3)=9-12=-3 4)f(x)=x³-3x d(y)∈(-∞; ∞) f(-x)=-x³+3x=-(x³-3x) -нечетная точки пересечения с осями 0=0  у=0 х³-3х=0    х(х²-3)=0  х=0  х=-√3  х=√3 (0; 0) (-√3; 0)  (√3; 0) f`(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)=0 x=-1  x=1   +            _                + возр    -1 убыв    1  возр           max          min ymax(-1)=2  ymin(1)=-2

Число 64 = 2^6. его множители (целые, положительные) равны:   1        2        4        8       64      32      16      8      (до половины - дальше повторяются). сумма их квадратов равна:     1            4        16        64 4096    1024    256      64 4097    1028      272    128.как видим, наименьшая сумма равна 128.