Обьясните тему: вычисление значения тригонометрических функций угла вэтта

Тригонометри́ческие фу́нкции  —элементарные функции, которые возникли при рассмотрении  прямоугольных треугольников  и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов пригипотенузе  (или, что равнозначно, зависимость  хорд  и высот отцентрального угла  (дуги) в  круге). эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное  вещественное  или даже  комплексное число. наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется  тригонометрией. к тригонометрическим функциям относятся: прямые тригонометрические функциисинус ()косинус ()производные тригонометрические функциитангенс ()котангенс ()другие тригонометрические функциисеканс ()косеканс () в западной тангенс, котангенс и косеканс часто обозначаются  . кроме этих шести, существуют также некоторые  редко используемые тригонометрические функции(версинус и т. а также  обратные тригонометрические функции(арксинус, арккосинус и т. рассматриваемые в отдельных статьях. тригонометрические функции являются  периодическимифункциями с   для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и    для тангенса и котангенса. синус и косинус вещественного аргумента — периодическиенепрерывные  и неограниченнодифференцируемыевещественнозначные функции. остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченнодифференцируемые  на области определения, но не  непрерывные. тангенс и секанс имеют  разрывы второго рода  в точках  , а котангенс и косеканс  — в точках  . тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемыеформулы . значения тригонометрических функций острых углов приводят в специальных таблицах. графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

а)здесь заменим cos²x, на 1 - sin²x по основному тригонометрическому тождлеству. получаем:

6(1 - sin²x) + 7sin x - 8 = 0

6 - 6sin²x + 7sin x - 8 = 0

-6sin²x + 7sin x - 2 = 0

пусть sin x = t, причём |t| ≤ 1, тогда

-6t² + 7t - 2 = 0

6t² - 7t + 2 = 0

d = 49  - 48 = 1

t1 = (7 - 1) / 12 = 6/12 = 1/2

t2 = (7 + 1) / 12 = 8/12 = 2/3

приходим к совокупности двух уравнений:

sin x = 1/2                                                                    или                                                                                sin x = 2/3

x = (-1)^k * π/6 + πn ,n∈z                                                                                                              x = (-1)^k arcsin 2/3 + πk, k∈z

 

2)данное уравнение является однородным второй степени. будем решать его специальным образом. разделим всё уравнение на cos²x, но сначала обоснуем, почему мы имеем правда делить на него.

если бы cos² x был равен 0, то тогда при подставновке в уравнение получили бы соответственно

2sin²x + 0 - 0 = 0, то есть sin²x равен 0. но этого не может быть, так как противоречит основному тригонометрическому тожелдству. получили противоречие, следовательно, мы можем делить на cos²x. теперь сделаем это:

2tg²x + tg x - 1 = 0

  введём замену. пусть tg x = t, тогда

 

  2t² + t - 1 = 0

d = 1 + 8 = 9

t1 = (-1 - 3) / 4 = -4/4 = -1

t2 = (-1 + 3) / 4 = 2/4 = 1/2

приходим к совокупности уравнений:

tg x = -1                                                                        или                                                                  tg x = 1/2

x = -π/4 + πn, n∈z                                                             x = arctg 1/2 + πk, k∈z

это и есть корни данного уравнения.

 

 

 

 

как нетрудно увидеть, данное уравнение является линейным, вида ax = b. возможны такие случаи при решении линейных уравнений:

 

1)уравнение вида 0x = 0, оно имеет бесконечное множество решенийю для этого надо, чтобы

a² - 9 = 0                        и                                            a + 3 = 0

a² = 9                                                                                      a = -3

a1 = 3; a2 = -3

значение a = -3 удовлетворяет данной системе, значит при a = -3 уравнение имеет бесконечное множество решений.

2)уравнение вида 0x = a, где a≠0. оно не имеет корней. для этого случая достаточно, чтобы

a² - 9 = 0                                 и                   a + 3 ≠ 0

                                                                                                                                          a ≠ 3

такое значение мы уже фактически нашли - это a = 3. итак, при a = 3 уравнение вообще не имеет корней.

 

3)уравнение вида ax = b, где a и b отличны от нуля. тогда данное уравнение имеет, как и положено линейному, один корень, то есть, если a ≠ 3 и a ≠ -3, то данное уравнение имеет корень, задаваемый формулой:

x = (a + 3)(a²-9)