Принадлежат ли промежутку [8: 12] a) 15 б) 8 1/3 в) 12 3/7 г) 12

Б, г- принадлежит. а, в - не пренадлежит, тк. эти числа на числовом отрезке{8; 12} расположены за границей  нужного нам отрезка.

Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков: ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1 далее преобразуем слагаемые в разности косинусов: sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] здесь были применены формулы cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y)) где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались. исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1 т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. т.е. ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n) при n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b) что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1 т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)

Пусть слесарь может выполнить заказ за х часов, тогда его производительность равна 1/х производительность двух его учеников 1/у1 и 1/у2   (1/у1)+(1/у2)=1/х (уравнение 1) 1/у1+1/у2=1/х       (х+4)/у1=1   и   (х+9)/у2=1, где 1 - это выполненный заказ. у1=х+4     у2=х+9   подставим в уравнение 1 1/(х+4)+1/(х+9)=1/х   к общему знаменателю (х+4+х+9)/(х+4)*(х+9)=1/х х*(2*х+13)=(х+4)*(х+9) 2*х^2+13*x=x^2+13*x+36 x^2=36 x=6 часов надо слесарю, чтобы выполнить заказ.