Найдите остаток от деления многочлена f(x)= 13x^3+67x^2-3x+4 на многочлен p(x)=x^2+5x+1

докажем сначала пункт б)

каждое натуральное число можна записать в виде 6k+1,6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5, (то же самое что 6l-1), 6k+6, где k=0, или k - натуральное (так как при делении на 6 остатки могут быть 0,1,2,3,4,5)

числа вида 6k+2, 6k+4, 6k+6 четные поэтому делятся на 2, но но одно простое число больше 3 на 2 не делится, поэтому среди чисел этого вида нет простых

числа вида 6k+3=3*(2k+1) делятся на 3, но ни одно число большее 3, на 3 не делится, поэтому среди чисел данного вида нет протых чисел, поэтому простые числа находятся срди чисел вида р=6к+-1, к принадлежит n, что и требовалось доказать

 

теперь используя доказанный пункт б) докажем а)

р*р-1=(p-1)(p+1)  - по формуле разности квадратов

рассмотрим два возможных случая

первый р=6k+1, к принадлежит n

тогда

р*р-1=(6k+1-1)(6k+1+1)=6k*(6k+2)=12k*(3k+1), а значит деится на 12

второй p=6k-1

p*p-1=(6k-1-1)(6k-1+1)=(6k-2)*6к=12к*(3к-1), а значит делится на 12.

доказано

 

решение. обозначим буквой s площадь, которую скашивает один косец за день. количество косцов артели обозначим буквой n. тогда площадь первого луга равна

 

ns/2 + ns/4 = 3ns/4

 

(n косцов работали полдня, а потом n/2 косцов работали полдня, при этом весь луг был скошен). площадь второго луга по условию вдвое меньше, значит, она равна 3ns/8, из которых ns/4 было скошено в первый день. таким образом, один косец за день скосил

 

3ns/8 – ns/4 = ns/8.

 

вспомнив определение величины s, получаем n = 8.