Решите неравенство методом интервалов (х-1)(х-3)(х-5)> 0

Набор допустимых значений r f(x)=(х-1)(х-3)(х-5)=0 x=1 x=3 x=5 x∈(-∞; 1)⇒  f(x)< 0 x∈(1; 3)  ⇒ f(x)> 0 x∈(3; 5)  ⇒ f(x)< 0 x∈(5; +∞)  ⇒ f(x)> 0                         x∈(1; 3)u(5; +∞)

Решение

y = x³ + 3x²

1. Находим интервалы возрастания и убывания.

Первая производная.

f'(x) = 3x² + 6x

или

f'(x) = 3x*(x + 2)

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

3x*(x + 2) = 0

Откуда:

3x = 0

x₁ = 0

x + 2 = 0

x₂ = - 2

(-∞ ;-2) f'(x) > 0 функция возрастает

(-2; 0) f'(x) < 0 функция убывает

(0; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает

В окрестности точки x = - 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = - 2 - точка максимума.

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.

Объяснение:

Решать надо для трёх случаев:   1. х-2 больше или равно нуля, то есть х больше или равно 2.  в этом случае скобки модуля просто снимаются:   х-1-(х-2)=1  х-1-х+2 =1  2х+1=1  2х=0  х=0 -- корень не входит в область определения (х больше 2) -- значит в этой области корней нет.  2. х-1 меньше нуля, то есть х меньше 1.  в этом случае скобки обоих модулей снимаются с умножением выражений в скобках на минус единицу:   -х+1+х-2=1  иксы сокращаются:   -1=1 -- противоречие -- в этой области (х меньше 1) корней тоже нет.  3. х-1 больше или равно нуля а (х-2) меньше нуля,  то есть 1 меньше или равно х меньше 2  в этом случае скобки модуля х-1 просто убираются (снимаются)  а скобки модуля х-2 снимаются с умножением выражения в х-2 на минус единицу:   х-1+х-2=1  2х=4  х=2 -- не входит в область определения 1 меньше или равно х меньше 2  следовательно в третьем случае корней тоже нет.  ответ: нет корней.