Доказать, что разность 16 в 11-ой степени минус 2 в 39-ой степени делится на 31

числитель 1 дроби сворачиваем по формуле разности кубов:

(99-61)(99^2+2*99*61+61^2)       99*61             38(99+61)^2       99*61

+ =   + =    

              38                                   1                       38                 1 

  =(99+61)^2 +   99*61                                                     т.к. -   99*61=(99+61)^2-2*99*61

то, (99+61)^2 +   99*61= (99+61)^2 + (99+61)^2-2*99*61=

= 99^2+61^2+2*99*61+99^2+61^2+2*99*61-2*99*61=

=2*(99^2)+2*(61^2)+2*99*61=(99+61)^2+99^2+

всё, дальше не

можно решить так

понятно, что 8% от половины пассажиров должно быть целым числом. допустим, автобус вмещает 70 человек. тогда половина будет составлять 35 человек. 8 % от 35 будет 2,8 чел. по условию подходит только 2 - это 8% от 25. 25 человек - половина вместимости автобуса. значит, автобус 50-местный.

второй способ

пусть в первый раз вошли х чел. раз в ничего не сказано о том, что сколько чел. вышли после первой остановки, значит никто не выходил.

тогда после 2 раза верно неравенство, (а - общее число пассажиров после 2 остановки): а=х+8%< 70 =>   а=1.08*x< 70 или а=68 человек.

но так как х-8% должен быть целым числом, то максимальное х=50, при этом а = 50+8%=54.

ответ: 50 человек.