Найдите наибольшие значение функции в отрезке [-п/2; 3п/4] f(х)=sin^2x- sinx +5

значения на концах отрезка:

f(-pi/2) = sin^2(-pi/2) - sin(-pi/2) + 5 = 1 + 1 + 5 = 7

f(3pi/4) = sin^2(3pi/4) - sin(3pi/4) + 5 = (-1/√2)^2 - (-1/√2) + 5 =

= 1/2 + √2/2 + 5 = (11 + √2)/2 < 7

найдем экстремумы:

f ' (x) = 2sin x*cos x - cos x = cos x*(2sin x - 1) = 0

1) cos x = 0; x = pi/2 + pi*k; в промежуток корни:

x1 = -pi/2; f(-pi/2) = sin^2(-pi/2) - sin(-pi/2) + 5 = 1 + 1 + 5 = 7 - максимум

x2 = pi/2; f(pi/2) = sin^2(pi/2) - sin(pi/2) + 5 = 1 - 1 + 5 = 5

2) 2sin x - 1 = 0

sin x = 1/2

x = pi/6 + 2pi*k. в промежуток попадает корень:

x3 = pi/6; f(pi/6) = sin^2(pi/6) - sin(pi/6) + 5 = 1/4 - 1/2 + 5 = 4 3/4

x = 5pi/6 + 2pi*k. в промежуток не попадает ни один корень.

ответ: f(-pi/2) = 7

√2cos2x = cosx+sinx √2(cos²x - sin²x) - (cosx + sinx) = 0 √2(sinx + cosx)(cosx - sinx) - (cosx + sinx) = 0 (sinx + cosx)(√2cosx -  √2sinx - 1) = 0 1) sinx + cosx = 0 sinx = -cosx tgx = -1 x = -π/4 +  πn, n  ∈ z 2) √2cosx -  √2sinx - 1 = 0 √2cosx -  √2sinx   = 1 √2/2cosx -  √2/2sinx = 1/2 cosx·cos(arccos(√2/2) - sinx·sin(arccos(√2/2)) = 1/2 cos(x +  arccos(√2/2)) = 1/2 cosx(x  +  π/4) = 1/2 x + π/4  =  ±π/3 + 2πk,  k ∈ z x =    ±  π/3 - π/4  + 2πk, k ∈ z ответ: x = -π/4 +  πn, n  ∈ z; ±  π/3 - π/4  + 2πk, k ∈ z.

Cos(x)  + sin(x)=1, домножим на  корень из двух/2 то есть √(2)/2 cos(x) +  √(2)/2  sin(x)  = √(2)/2,  тогда  получаем  такую  формулу sin  (  pi/4  +  x)  =  √(2)/2,  тогда  pi/4+x  =  pi/4  +  2pn  (где  n принадлежит  z)    и pi/4 +x = 3pi/4 + 2pn, отсюда x = 2pn и x = pi/2 + 2pn  немного сплю уже но промежутки получились    2pi, 4pi, 5pi/2,  9p/2