Докажите что многочлен x²+2x+y²-4y+6 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения

Этот многочлен можно записать как т.к. квадрат любого действительного числа неотрицателен.

1 экскаватор сделает всю работу за x часов, по 1/x части в час.

2 экскаватор сделает всю работу за x-5 часов, по 1/(x-5) части в час.

обозначим всю работу за 1.

сначала 1 проработал 6 часов и сделал 6/x часть.

потом 2 проработал 2 часа и сделал 2/(x-5) часть, и закончил.

6/x + 2/(x-5) = 1

6(x - 5) + 2x = x(x - 5)

6x - 30 + 2x = x^2 - 5x

x^2 - 13x + 30 = 0

(x - 3)(x - 10) = 0

x = 3 не подходит, слишком мало.

x = 10; x - 5 = 5.

за 1 час 1 экскаватор сделает 1/10 часть, а 2 экскаватор 1/5 = 2/10 часть.

вместе они делают за 1 час 1/10 + 2/10 = 3/10, а всю работу за 10/3 часа.

ответ: 10/3 = 3 1/3 часа = 3 часа 20 мин.

Для решения данной задачи можно воспользоваться 3мя фактами:

1) Всего существует 14 разных возможных остатков от деления на 14: 0, 1, 2, ..., 12, 13.

2) Если разность двух чисел кратна n, то остатки этих чисел от деления на n равны.

Док-во: Пусть x1 = an + b, а х2 = сn + d (a, c, n- целые; b, d- натуральные, меньше n, так как это остатки х1 и х2 соответственно от деления на n). Дан факт, что x1 - x2 кратно n, то есть, имеет вид z*n, где z- целое число.

x1 - x2 = z * n

an + b - cn - d = zn

b - d = zn - an + cn

b - d = n (z - a + c). Правая часть кратна n, значит и выражение (b - d) кратно n. Возьмем данное выражение по модулю n

b - d ≡ 0 (mod n)

b ≡ d (mod n), ч.т.д.

3) Необобщенная Теорема Дирихле гласит: "Если взять n кроликов и посадить их в (n-1) клеток, то обязательно найдется хотя бы 1 клетка, в которой будет хотя бы 2 кролика".

Док-во от противного: Пусть, при данном условии, не найдется ни одна клетка с хотя бы двумя кроликами. Тогда, поскольку клеток (n-1), а кролик в одной клетке может быть максимум 1, то максимум может быть 1*(n-1) = n-1 кроликов, а у нас их n. Противоречие.

Итого, получаем такой вывод, что вместо кроликов можно взять данные нам числа, а вместо клеток- остатки от деления на 14. Тогда, если не найдется клеток, в которых будет хотя бы 2 числа, то максимум в одной клетке может быть 1 число, а клеток 14. Тогда максимум может быть 14 чисел, а у нас их 15. Противоречие.

Полученное противоречие показывает, что среди 15ти целых чисел всегда найдутся 2, разность которых кратна 14ти.