Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку m: 1. f(x)=x^2, m(1; 2) 3. f(x)=1/x, m(1; -1)

1. f(x)=x^2, m(1; 2)f(x) = 1/3 · x^3  + c    подставляю координаты точки, чтобы найти с  2 = 1/3 ·1^3 + c     >   с = 2 - 1/3 = 5/3 f(x) = x^3 ^ 3 + 5/32) f(x)=1/x, m(1; -1) f(x) = ln x  + c    подставляю координаты точки, чтобы найти с-1 = ln 1+ c     >   с = -1 f(x) = ln x  - 1

Возведем уравнение в квадрат. поскольку при этом могут возникнуть лишние корни, сделаем в конце проверку: 1)  поскольку в этом случае  оставляем только положительные корни. подстановка в исходное уравнение показывает, что оба подходят. 2)    в этом случае оставляем только отрицательные корни. подстановка в исходное уравнение оставляет поскольку повышенной сложности, рутинные выкладки я оставляю автору , подскажу только, что в процессе придется доказать, что  а доказывается это простым  возведением в квадрат. замечание. есть второй способ решения - с тригонометрической  замены. ответ:  

Task/24968563 решите уравнение  √(16 - x ) +√(x-14) =x²-30x +227                 ответ:   x=15 . обозначаем f(x) = √(16 - x ) +√(x-14)       d(f) : { 16 -x  ≥0 ; x -14  ≤0 .⇔x∈[14; 16]           * * * ооф * * * очевидно    f(x)  > 0,   т.к.   16 - x и    x -14   нулевое значение принимают при разных значениях переменного  x .   * * *  система 16 - x =0=x -14 не имеет решения  * * *  f '(x) =( √(16 - x ) +√(x-14) ) ' =   -1/2√(16 - x) +1/2√(x-14) = 1/2( √(16-x) - √(x -14) ) /2√(16 - x) *√(x-14) f '(x) =0  ⇒√(16-x) - √(x-14)=0    ⇒x=15. f ' (x)     +               - 15 f(x)       ↑      max     ↓              maxf(x)     = f(15) =2 .   (1) x∈[14; 16] g(x) =x²-30x +227 =(x-15)² +2 ≥2 min g(x) =  g(15)  = 2  .   (2) из  (1) и  (2) следует   x=15 . можно и без применения производной : f²(x) = (√(16 - x ) +√(x-14) )² =2+2√( (16 - x ) *(x-14) )  ≤ 2+(16 - x +x-14)= 4 ,равенство имеет место ,если 16 - x =x-14, т.е. при x=15. затем из  f²(x)  ≤ 4  ⇒  f(x)    ≤ 2 .                 || f(x) > 0 ||  2-ой способ   это не мое решение (  более искусственный, использован    частный случай неравенства коши)  * * * √ab ≤(a+b) /2 при a≥0 ,b ≥ 0  * * *   одз : x∈[14; 16]  оценим обе части равенства  √(16-x ) =√(16-x )*1  ≤    (17-x)/2     (3) ; равенство,  если  16 -x=1  ⇒ x=15. √(x-14)= √(x-14)*1   ≤  (x-13)/2     (4) ;   равенство,  если x-14=1   ⇒ x=15.  из (3) и  (4)  получаем  √(16-x)+√(x-14) ≤ 2   * * * (17-x)/2  +(x-14)/2 =2 * * * правая часть равенства x²-30x +227 =(x-15)² +2  ≥ 2 равенство опять ,  если  x=15. 2  ≥  √(16-x ) +√(x-14) =  x²-30x +227   ≥ 2  равенство имеет место только при  x=15.