Найти сумму первых n членов прогрессии: 1 ; 3; 3

Доказать тождество: 1)      (a+b)² (a-b) -  2ab(b-a) -  6ab(a-b)  =(a  -b)³ .   (a+b)² (a-b) -  2ab(b-a) -  6ab(a-b) =(a-b)( ( a+b)² +2ab  -  6ab  )  =(a-b)(a²  +2ab +b² +2ab -6ab) =(a-b)(a²  -2ab +b² ) =(a-b)(a  -b)²  =(a  -b)³ . 2)     (a² +b²)(a⁴   - a²b² +b⁴) +(a³ -b³)(a³ +b³ ) =2a⁶. (a² +b²)(a⁴   - a²b² +b⁴) +(a³ -b³)(a³ +b³ ) = (a²)³ +(b²)³   +(a³)²   -(b³)² = (a²)³ +(b²)³   +(a³)²   -  (b³)²  =a⁶ +b⁶ +  a⁶ -  b⁶ =2a⁶. 3) (a²+b²)(c²+d²)=  (ac+bd)²+(ad-bc)² .  (a²+b²)(c²+d²) =a²c² +a²d² +  b²c² +  b²d²   = (a²c² +2*ac*bd+ b²d ²)     +(a²d² - 2*ad*bc+  b²c² ) =  (ac+bd)²+(ad-bc) ²  . 4) (a²+cb²)(d²+ce²)  =  (ad+cbe)²+c(ae  -  bd) ² .(a²+cb²)(d²+ce²)   =a²d² +a²ce² +  cb²d² +c²b²e ² =(a²d² +c²b²e²)   +c(a²e² +  b²d²) = (a²d² + 2*ad*cbe+c²b²e²)   +c(a²e²   -  2ae*bd+  b²d²) =  (ad+cbe)²+c(ae  -  bd)².

y=kx+1 и y=kx^2−(k−3)x+k приравниваем, решаем и требуем чтобы было 2 корня d> 0

kx+1=kx^2−(k−3)x+k

kx^2-(k-3)x+k-kx-1=0

kx^2-(2k-3)x+k-1=0

d=(2k-3)^2-4k(k-1)=4k^2-12k+9-4k^2+4k=-8k+9> 0

8k< 9

k< 9/8

 

теперь y=kx+1 и y=(2k−1)x^2−2kx+k+9/4 приравниваем и требуем чтобы не было корней d< 0

kx+1=(2k−1)x^2−2kx+k+9/4

(2k−1)x^2−2kx+k+9/4-kx-1=0

(2k−1)x^2−3kx+k+5/4=0

d=(3k)^2-4(2k-1)(k+5/4)=9k^2-(2k-1)(4k+5)=9k^2-8k^2+4k-10k+5=k^2-6k+5=(k-1)(k-5)< 0

1< k< 5

 

пересекаем k< 9/8 и 1< k< 5 - ответ 1< k< 9/8

 

ответ 1< k< 9/8