Объясните , как решать уравнения такого типа: 1) 4 sin^2 x + 5 sin x +1 = 0 2) 3 cos^2 x + 2 cos x -5 =0

1) 4 sin² x + 5 sin x + 1 = 0
sinx = t
4t² + 5t + 1 = 0
D = 25 - 4*4*1 = 9
t₁ = (-5 - 3)/8 = - 1
t₂ = (-5 + 3) /8 = - 1/4
a) sinx = - 1
x₁ = - π/2 + 2πk, k∈Z
b) sinx = - 1/4
x₂ =  (-1)^(n)arcsin(-1/4) + πn, n∈Z

2) 3 cos² x + 2 cos x - 5 = 0
cosx = y
3y² + 2y - 5 = 0
D = 4 + 4*3*5 = 64
y₁ = (-2 - 8)/6 = - 5/3 
y₂ = (-2 + 8)/6 = 1
cosx = - 5/3 не имеет решение, так как 
 не удовлетворяет условию IcosxI ≤ 1
cosx = 1
x = 2πk, k∈Z

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Для решения такого уравнения необходимо либо решить систему (числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля), либо найти нули числители и выбрать из них те, при которых знаменатель не равен нулю.

2x^2 + 3x + 1 = 0;

D = 9 - 8 = 1;

x = (-3±1)/4

x = -1 ИЛИ x = -1/2.

Подставим полученные значения в знаменатель.

x = -1: -1 + 2 -3 +2 = 0 - не корень исходного уравнения.

x = -1/2: -1/8 + 1/2 - 3/2 + 2 ≠ 0 - корень исходного уравнения.

ответ: -1/2.

Решите уравнение:

(2x²−3x)²+ 7*(2x²−3x) −1 8=0

решение :  замена  t =2x²−3x

t² + 7t - 18 = 0 (квадратное уравнение  D=7² - 4*1*(-18) =11 ², t =(-9±11)/2, но ...) ⇔ t² - 2t +9t  - 18  =0 ⇔ t (t - 2)+ 9(t -2) =(t -2)(t+9) =0 ⇒  t = - 9 или  t =2.

a) 2x²−3x = -9 ⇔2x²− 3x+ 9 =0 ; D =(-3)² -  4*2*9 = -63 < 0 ⇒нет  решений

б) 2x²−3x =2 ⇔ 2x²−3x -2 =0   }} D =(-3)² -4*2*(-2) =5² ⇔ x =(3 ±5) 4 .

* * * По т. Виета 2x²−3x -2 =0 ⇔ x²−(3/2)x -1=0 ⇔ x²−(2 -1/2)*x +2 *(-1/2) =0 * * *

x₁ = -1/2 ; x₂ =(3+5)/5 =2.

ответ :  - 1/2 ;  2 .