Постройте на одном чертеже график функции y=3 y=x y=4-x

Вот, решение на фотографии.

1. находим частные производные.
du/dx=(-y/x²)*1/(1+y²/x²)=-y/(x²+y²), du/dy=(1/x)*x²/(x²+y²)=x/(x²+y²)

2) находим значение этих производных в точке М:
du/dx(2;-2)=2/(4+4)=1/4=0,25; du/dy(2;-2)=2/(4+4)=1/4=0,25.

3) Уравнение x²+y²=4x, или x²-4x+y²=(x-2)²+y²-4=0, или (x-2)²+y²=4, очевидно, есть уравнение окружности с центром в точке М1(2;0) и радиусом r=√4=2. 

4) Обозначим F(x,y)=x²-4x+y². Найдём dF/dx и dF/dy.
dF/dx=2x-4, dF/dy=2y.

5) Найдём значения этих производных в точке М. 
dF/dx(2;-2)=0, dF/dy(2;-2)=-4. Эти значения являются координатами нормального вектора, проходящего через точку М, то есть вектора, перпендикулярного вектору, направленному по касательной к окружности в данной точке М. Из бесчисленного множества последних выберем нормированный. Пусть этот вектор имеет координаты Ax и Ay. Тогда, так как векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. Но последнее можно записать в виде 0*Ax+(-4)*Ay=0, откуда Ay=0. С другой стороны, скалярное произведение Ax*Ax+Ay*Ay=(Ax)²+(Ay)²=1, откуда Ax=+1 и Ax=-1. 

6) Производная по направлению в точке М вычисляется по формуле
du/dl=du/dx(2;-2)*cos α +du/dy(2;-2)*cos β, где cos α=Ax/модуль А, cos β=Ay/модуль А. Но модуль А=1, и тогда cos α=1 либо cos α=-1, cos β=0. А тогда du/dl=0,25*1=0,25, либо du/dl=-0,25. ответ: 0,25 либо -0,25.

Вначале необходимо найти производную и приравнять ее к 0 для нахождения экстремумов:

y' = (6cosx)' = -6*sinx = 0, sinx=0, x=pi/2 + pi*k

Дан промежуток [-pi/2; 0], необходимо определить, какие именно точки из множества решений попадают в него:

k=-1, x=pi/2-pi=-pi/2 - принадлежит промежутку

Является ли х=-pi/2 - экстремумом? - посчитать знак производной ДО и ПОСЛЕ этой точки: производная меняет свой знак с плюса на минус:  х=-pi/2 - максимум функции.

На  [-pi/2; 0] функция убывает, значит наибольшее значение y(-pi/2)=0, наименьшее значение y(0)=6