1.решите уравнение: (x^2-6x-9)^2=x(x^2-4x-9) 2.решите систему уравнений: 2xy+y^2=8 x^2-4xy+7=0

(x^2-6x-9)^2=x(x^2-4x-9)

при x=0 проверкой проверяем, что нет решений, поэтому правую и левую часть равенства делим на x, получим

((x-(9/)^2=(x-(9/ замену

t=x-(9/x)

(t-6)^2=(t-4)

t^2-13t+40=0

d=b^2-4ac=9

t1,2=(-b±sqrt(d))/2a=(13±3)/2

t1=5

t2=8

 

1) t1=5

      x-(9/x)=5

      x^2-5x-9=0

      d=b^2-4ac=61

      x1,2=(-b±sqrt(d))/2a=(5±sqrt(61))/2

      x1=(5-sqrt(61))/2    

      x2=(5+sqrt(61)/2

 

2) t2=8

      x-(9/x)=8

      x^2-8x-9=0

      d=b^2-4ac=100

      x3,4=(-b±sqrt(d))/2a=(8±10)/2

      x3=-1

      x4=9

 

ответ:  

      x1=(5-sqrt(61))/2    

      x2=(5+sqrt(61)/2

      x3=-1

      x4=9

 

 

2. видим, что х не равен 0. поделим оба уравнения на x^2:

(у/х)^2 + 2(y/x) = 8/(x^2)

4(y/x) - 1 = 7/(x^2)                              пусть p=(y/x),  q=1/(x^2)

 

p^2 + 2p = 8q

4p - 1 = 7q                        после вычитания получим: q = p^2-2p+1 или     ((p-1)^2)

подставим в первое:

p^2 + 2p = 8p^2 - 16p + 8,      7p^2 - 18p + 8 = 0,  d = 324-224=100

p1=(18+10)/14 = 2,        q1 = 1

p2=(18-10)/14 = 4/7,  q2 = 9/49

a) y/x = 2

      x^2 = 1      x1=1,  x2= -1

                                    y1=2,  y2= -2

б) у/х= 4/7

      x^2 = 49/9    x3=7/3,  x4 = -7/3

                                            y3= 4/3, y4= -4/3.

ответ: (1; 2),  (-1; -2),  (7/3; 4/3),  (-7/3; -4/3).

Пусть  м(х; у) — текущая точка искомой кривой. опустим из точки м перпендикуляр мв на прямую у = -1 (см. приложение). тогда в (х; -1). так как ма=мв, то  возведём обе части в квадрат. раскроем скобки с переменной у: получаем уравнение параболы: полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке о*(2; 0). для уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим x – 2 = x*, y = y*.  тогда в системе координат х*0*у*  уравнение параболы принимает следующий вид: у*=  (1/4)(х*)².

{x - y  = 3                ⇒  x = y + 3 {x² - xy  - 2y² = 7 способ подстановки: (у + 3)²  - у(у+3) - 2у²  = 7 у² + 2*у*3 + 3²  - у²  - 3у  - 2у²  = 7 у²  + 6у  + 9  - у²  - 3у  - 2у²    - 7 = 0 -2у²  + 3у  + 2  = 0        | * ( -1) 2y² - 3y    - 2 = 0 d = (-3)²  - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25 = 5² d> 0  - два корня уравнения у₁ = ( - (-3) - 5)/(2*2) = (3-5)/4 = -2/4 = - 0,5 у₂ = (- (-3) + 5)/(2*2) = (3+5)/4 = 8/4 = 2 х₁ = - 0,5 + 3 = 2,5 х₂=  2 + 3  =  5 ответ:     (2,5 ; - 0,5) ,  ( 5 ;   2) .