Папа и сын, двигаясь в одном направлении по стадиону, встречаются каждые 12 минут. если они выедут из одной точки одновременно в противоположных направлениях, то встретятся через 3мин. сколько минут необходимо сыну, чтобы сделать круг по стадиону, если известно, что он движется медленнее отца

Пусть x мир требуется сыну на круг,а отцу у мир.тогда скорость сына 1/x круга в мир,а отца 1/y круга в минуту. Так как отец догонит за 12 мир то 12/y-12/х=1 и второе уравнение 1/x+1/у=1/3.решаемых систему заметно 1/x=а,1/y=в А+в=1/3 12в-12а=1, тогда в=5/24 , а=1/8,соответственно x=8 минут,у=4,8 мир.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. глава 5. решение треугольников 5.1. прямоугольный треугольник  аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. до сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. с введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. 1  рисунок 5.1.1.  прямоугольный треугольник. косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. пусть угол (bac) – искомый острый угол. так, например, для угла bac (рис. 5.1.1) теорема 5.1.  косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. доказательство  пусть abc и a1b1c1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах a и a1, равным α . построим треугольник ab2c2, равный треугольнику a1b1c1, как показано на рис. 5.1.2. это возможно по аксиоме 4.1. так как углы a и a1 равны, то b2 лежит на прямой ab. прямые bc и b2c2 перпендикулярны прямой ac, и по следствию 3.1 они параллельны. по теореме 4.13 2  рисунок 5.1.2.  к теореме 5.1. но по построению ac2 = a1c1; ab2 = a1b1, следовательно, что и требовалось доказать. теорема 5.2.  теорема пифагора. в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. модель 5.2. доказательство теоремы пифагора. на рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. bc и ac – его катеты, ab – гипотенуза. по теореме bc2 + ac2 = ab2. доказательство  пусть abc – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине c. 3  рисунок 5.1.3.  к доказательству теоремы пифагора. проведем высоту cd из вершины c. по определению из треугольника acd и из треугольника abc. по теореме 5.1 и, следовательно, . аналогично из δ cdb, из δ acb, и отсюда ab · bd = bc2. складывая полученные равенства и, замечая, что ad + bd = ab, получаем ac2 + bc2 = ab · ad + ab · bd = ab (ad + bd) = ab2. теорема доказана. в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. косинус любого острого угла меньше единицы. пусть [bc] – перпендикуляр, опущенный из точки b на прямую a, и a – любая точка этой прямой, отличная от c. отрезок ab называется наклонной, проведенной из точки b к прямой a. точка c называется основанием наклонной. отрезок ac называется проекцией наклонной. с теоремы пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. по определению тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. для угла (bac) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла. 4  рисунок 5.1.4. из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника, то катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;  катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;  катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.

Напомним, что неравенства называются равносильными, если у них совпадают множества решений.

Решим первое неравенство. ОДЗ: x≥2. Если x=2, неравенство превращается в 0>0, поэтому x=2 не входит в ответ. Если x>2, корень из x-2 больше 0, поэтому он не влияет на знак левой части и может быть отброшен. Получается неравенство x-a>0; x>a. Остается пересечь условия x>2 и x>a. Если a<2, решениями первого неравенства служат все x>2, что не совпадает с множеством решений второго неравенства. Если же a≥2, решениями первого неравенства служат все x>a, что совпадает с множеством решений второго неравенства.

Вывод: неравенства равносильны при a≥2