Постройте график функции y=3lx+8l-x^2-14x-48 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно 3 общие точки.

m= 0 и m =0,25

Объяснение:

Дана функция:

y=3·|x+8|–x²–14·x–48.

Так как в функции участвует модульное выражение, то рассмотрим в зависимости знака под модульного выражения.

1) x+8≤0 ⇔ x ≤ –8 ⇒ |x+8|= –(x+8). Тогда левый кусок функции имеет вид:

y₁=3·|x+8|–x²–14·x–48=3·(–(x+8))–x²–14·x–48= –3·x–24–x²–14·x–48 =

= –x²–17·x–72 – это парабола, у которой ветви направлены вниз и с вершиной в точке

x= –(–17)/(2·(–1))= –8,5. Значение в вершине:

y₁(–8,5)= –( –8,5)²–17·(–8,5)–72=0,25.

Чтобы построит график определим нули параболы:

–x²–17·x–72=0 ⇔ x²+17·x+72=0 ⇔ (x+8)·(x+9)=0 ⇔

⇔ x₁ = –9 (<–8), x₂ = –8 (=–8).

2) x+8≥0 ⇔ x≥–8 ⇒ |x+8|=x+8. Тогда правый кусок функции имеет вид:

y₂=3·|x+8|–x²–14·x–48=3·(x+8)–x²–14·x–48=3·x+24–x²–14·x–48=

= –x²–11·x–24 – это парабола, у которой ветви направлены вниз и с вершиной в точке

x= –(–11)/(2·(–1))= –5,5. Значение в вершине:

y₂(–5,5)= –(–5,5)²–11·(–5,5)–24=6,25.

Чтобы построит график определим нули параболы:

–x²–11·x–24=0 ⇔ x²+11·x+24=0 ⇔ (x+8)·(x+3)=0 ⇔

⇔ x₃ = –8 (=–8), x₄ = –3 (>–8).

ответом будут (прямые зелёного цвета) только: m= 0 и m =0,25.  

Точки пересечения прямых y=m (при m= 0 и при m =0,25) с графиком функции отмечены красными точками.

Дабы упростить задачу, сделаем так, чтобы график квадратичной функции касался прямой y = 3 в своей вершине.
Вершина параболы y = x² - это точка O(0; 0). 
При параллельном переносе на 6 ед. влево и 3 ед. вверх вершиной параболы будет точка O1(6; 3).
Чтобы из графика функции y = x² получить график функции y = (x - 6)² + 3, нужно y = x² перетащить на 6 ед. влево и на 3 ед. вверх, что мы и сделаем.
В конечном итоге получим график квадратичной функции, которая касается в своей вершине прямой y = 3 в точке с абсциссой 6. 

ответ: y = (x - 6)² + 3. 

Дабы упростить задачу, сделаем так, чтобы график квадратичной функции касался прямой y = 3 в своей вершине.
Вершина параболы y = x² - это точка O(0; 0). 
При параллельном переносе на 6 ед. влево и 3 ед. вверх вершиной параболы будет точка O1(6; 3).
Чтобы из графика функции y = x² получить график функции y = (x - 6)² + 3, нужно y = x² перетащить на 6 ед. влево и на 3 ед. вверх, что мы и сделаем.
В конечном итоге получим график квадратичной функции, которая касается в своей вершине прямой y = 3 в точке с абсциссой 6. 

ответ: y = (x - 6)² + 3.