1) ибн сины. если число будучи разделено на 9, дает остаток 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает остаток 1. докажите. 2) пифагора. докажите. что всякое нечетное натуральное число, кроме 1 , есть разность квадратов двух последовательных натуральных чисел. 3) диофанта. докажите, что приозведение двух чесел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов: (a²+b²)^(c²+d²)=(a^c+b^d)²+(b^c-a^d)²; (a²+b²)^(c²+d²)=(a^c-b^d)²+(b^c+a^d)². если можно с решением каждую , если не можете все три, то хотябы одну)

2) запишем нечетное число - 2n+1

разность квадратов двух последовательных натуральных чисел: (n+1)2-n2

то есть, раскрыв скобки, n2+2n+1-n2=2n+1

чтд

 

пусть x - количество олимпиад в 7-м классе

3x - количество олимпиад в 11-м классе

определим допустимое значение x

x /= 1, поскольку в таком случае между x и 3x недостаточно чисел

x /= 2, поскольку при наибольшем раскладе остальных терминов общая сумма < 31 (2+6+3+4+5=20), т.е. в любом случае не можем набрать 31

x /= 4, поскольку при наименьшем раскладе остальных терминов общая сумма > 31, т.е. в любом случае набираем больше, чем 31: 4+16+5+6+7

x /= 5, поскольку при наименьшем раскладе остальных терминов общая сумма > 31, т.е. в любом случае набираем больше, чем 31: 5+25+6+7+8

таким образом, настя в 7-м классе могла участвовать только в 3-х олимпиадах, а в 11-м — в 9.

количество олимпиад в 10 классе (назовем его y) больше 5, но меньше 9 в связи с возрастающим кол-вом олимпиад в каждом последующем классе: 5< y< 9.

y /= 6, поскольку в данном случае единственная возможная сумма не равняется 31: 3+4+5+6+9=27

остаются два варианта. y=7 также легко рассмотреть перебором:

1. 3+4+5+7+9=28

2. 3+4+6+7+9=29

3. 3+5+6+7+9=30

таким образом, y=8

если х = 16, то