Пусть f(x) — положительная непрерывная функция, принимающая в целых точках целые значения и удовлетворяющая условию f(x) + f( 4 - x ) = 8. найдите количество целых точек, лежащих в области, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми x = -8 и x = 12 (включая границу

F(-8)+f(12)=8
f(-7)+f(11)=8
f(-6)+f(10)=8
... и т.д.
f(0)+f(4)=8
f(1)+f(3)=8 (всего 10 таких строчек) и последняя:
f(2)+f(2)=8, откуда f(2)=4.
Т.к. количество целых точек в нашей области равно
(1+f(-8))+...+(1+f(12))=21+(f(-8)+f(12))+...+(f(1)+f(3))+f(2)=21+8*10+4=105.
(в каждой скобке +1, потому что учитываем точки лежащие на оси абсцисс)
ответ: 105 точек с целыми координатами.

Не уверенна что формула верная



Программа на Руби

for n in -10000..10000
    for k in 0..1000
        p [n,k] if 10*n + 5 == k*k
    end
end

Вывод
[2, 5]
[22, 15]
[62, 25]
[122, 35]
[202, 45]
[302, 55]
[422, 65]
[562, 75]
[722, 85]
[902, 95]
[1102, 105]
[1322, 115]
[1562, 125]
[1822, 135]
[2102, 145]
[2402, 155]
[2722, 165]
[3062, 175]
[3422, 185]
[3802, 195]
[4202, 205]
[4622, 215]
[5062, 225]
[5522, 235]
[6002, 245]
[6502, 255]
[7022, 265]
[7562, 275]
[8122, 285]
[8702, 295]
[9302, 305]
[9922, 315]

т.е. подразумевается что есть и другие решения, если расширять диапазон

Исследование точек экстремума функции проведём по первой производной функции. Первая производная равна y'(x)=3*x²-6*x, её значения равны нулю х1=0 (производная меняет знак с + на минус, так что эта точка - точка локального максимума) х2=2 (производная меняет знак с минуса на =, так что эта точка - точка локального минимума).
По второй производной исследуем выпуклости и вогнутости. Вторая производная y''(x)=6*x-6, она равна нулю при х3=1, при отрицательной производной у функции выпуклость вверх, при положительной - выпуклость вниз. Графики функций прилагаются.