Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. какой длины должны быть они, чтобы периметр численно равнялся его площади

Пусть стороны x и y.
Тогда для соблюдения условия, 2*x+2*y=x*y ⇒2*x+2*y/x=y
2+2*y/x=y⇒2+2*y/x=y⇒2=y-2y/x=y*x-2*y/x⇒2x=y*(x-2)
Соответственно, y=2*x/x-2 и при x=3 и y=6 мы получаем требуемое соотношение между сторонами.

Y=3 - 2x - x²

y = - x² - 2x + 3

1)  Область определения – множество значений х при которых функция имеет смысл. 
Область определения D(f) = ( -oo ; + oo)
т.к. нет ограничений (нет деления на  переменную, нет корней и т.д.)

Заметим что графиком будет парабола  
Старший коэффициент отрицательный => ветви параболы направлены вниз.

 2) Найдем координаты вершины: 


Найдем значение функции в вершине 

    Вершина ( -1 ; 4)   
Итак Вершина в точке (-1;4) и ветви вниз, значит это наибольшее значение. Теперь легко определить Область значений  
Значит область значений   E(f) = (-oo; 4]

3)   Промежутки возрастания, убывания:     
  f(х) возрастает на ( -оо ; - 1 )     
  f(х) убывает на   ( - 1 ; +оо)

4)  Нули функции:   
  - x² - 2x + 3 = 0       
x² + 2x - 3 = 0 
По теореме Виета 
x1+х2 = -2, 
x1х2 = -3       
  x1 = -3         
  х2 =1       
                                  + 
_________-3__________________1_________________                                         -                                                                   -
5) Промежутки знакопостоянства: 
    f(х) > 0   при х∈ ( -3 ; 1)   
  f(х) <  0   при х∈ ( - oo ; -3) ∪ ( 1 ; +оо )

6) Точка пересечения с осью OY   ( 0; 3)

Также можно проводить исследование функции с производной. 
но это уже другая тема.

Х страниц в час печатала машинистка 
(х-3) х страниц в час должна была печатать машинистка 

180/х  час - за это время она выполнила всю работу 
180/(х-3) час - за это время она должна была выполнить всю работу

По условию она выполнила всю работу на 5 час раньше срока, т.е.
180/(х-3) > 180/х на 5 

Получаем уравнение:
180/(х-3) - 180/х = 5

ОДЗ:  х>0;   х≠3

180х - 180·(х-3) = 5х·(х-3)
180х - 180х + 540 = 5х² - 15х
5х² - 15х - 540 = 0
Делим обе части уравнения на 5 и получаем:

х² - 3х - 108 = 0

D = b²-4ac
D = 9 - 4·1·(-108) = 9 + 432 = 441
√D = √441 = 21

х₁ = (3-21)/2 = -18/2 = - 9  посторонний корень, т.к. отрицательный
х₂ = (3 + 21)/2 = 24/2 = 12
ответ: 12 страниц в час печатала машинистка