При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x²-ax+a-1=0 будет наименьшей. внимание, это !

пусть х1, х2 -корни данного квадратного уравнения, тогда

по теореме виета

x1+x2=a

x1x2=a-1

 

(x1)^2+(x2)^2=(x1+x2)^2-2x1x2

(x1)^2+(x2)^2=a^2-2(a-1)=a^2-2a+2=(a-1)^2+1

 

(a-1)^2> =0, причем достигает наименьшего значения когда а-1=0, т.е при а=1

а значит сумма квадратов корней уравнения x²-ax+a-1=0 будет наименьшей при а=1

согласно теореме виета

х1 + х2 = а

х1 * х2 = а - 1

тогда

х1² + х2² = х1² + 2 * х1 * х2 + х2² - 2 * х1 * х2 = (х1 + х2)² - 2 * х1 * х2 =

а² - 2 * (а - 1) = а² - 2 * а + 2 = (а - 1)² + 1

итак, сумма квадратов корней уравнения минимальна при а = 1 и равна 1

проверка. 

при  а = 1  уравнение принимает вид  х² - х = 0  его корни  х1 = 0  и  х2 = 1

1)уравнение прямой будем искать в виде y = kx + b, надо найти k и b. этим мы и займёмся.

прямая проходит через начало координат, это говрит о том, что речь идёт не о линейной функции, а о её частном случае - прямой пропорциональности, задаваемой формулой y = kx. теперь совсем элементарно найти k. подставив координаты другой точки в y = kx, найдём отсюда k:

-3 = 4k

k = -3/4

таким образом, уравнение данной прямой такое - y = -3/4x

 

2)этот случай немного сложнее предыдущего. общий вид прямой опят y = kx + b. воспользуемся здесь тем, что прямая проходит через данные точки, тогда её координаты, по логике вещей, должны удовлетворять данному уравнению. подставим в него координаты обеих точек, и решим полученную систему уравнений с двумя переменными:

 

-3k + b = 4                              -3k + b = 4                          -2k = 6                                    k = -3

-k + b = -2                                  k - b = 2                                  b - k = -2                            b = -5

всё, коэффициенты найдены. искомое уравнение прямой - y = -3x - 5

 

 

xy(xy+1-(x+y))=72

1+(x+y)+xy=20

 

x+y=t

xy=s

 

s(s+1-t)=72      s(s+1-19+s)=72    2s(s-9)=72    s^2-9s-36=0  s1=12  s2=-3

s+t=19 t=19-s                                                                                                                                t1=7       t2=22

   

x+y=7

xy=12    x=3 y=4

                        x=4 y=3

 

x+y=22

xy=-3                    x3=11+2sqrt(31)          y3=11-2sqrt(31)

                                      x4=11-2sqrt(31)            y4=11+2sqrt(31)