Докажите, что при любых значениях x и y имеет место неравенство x^2 + 10y^2 - 6xy +10 x - 26 y + 30 > 0

x^2 + 10y^2 - 6xy +10 x - 26 y + 30> 0

перепишем неравенство в виде

x^2 - 2x(3y-5) +(3y-5)^2-(3y-5)^2+ 10y^2 - 26 y + 30> 0

используя формулу квадрата двучлена

(x-3y+5)^2 -9y^2+30y-25+ 10y^2 - 26 y + 30> 0

сводя подобные члены

(x-3y+5)^2 +y^2 +4 y + 5> 0

перепишем в виде

(x-3y+5)^2 +y^2 +4 y + 4+1> 0

группируя

(x-3y+5)^2 +(y^2 +4 y + 4)+1> 0

используя формулу квадрата двучлена

(x-3y+5)^2 +(y +2)^2 +1> 0

 

квадрат любого выражения неотрицателен,

сумма двух неотрицатеьных выражений неотрицательна

сумма неотрицательного выражения и положительного величина положительная

поэтому (x-3y+5)^2 +(y +2)^2 +1> 0 верно для любых значений x и y, а значит

и исходное неравенство x^2 + 10y^2 - 6xy +10 x - 26 y + 30 > 0

доказано

 

Так как исходное выражение можно представить в виде:                                               х³ + у³ = (2¹⁰)³, то, согласно теореме ферма, целочисленных решений для данного уравнения не существует:                                               хⁿ + уⁿ = zⁿ при значениях параметра n, превышающих 2, целочисленных решений для данного уравнения не существует. частный случай теоремы для n = 3 был доказан леонардом эйлером в 1768 г.

решениепусть х км/ч скорость второго автомобиля, тогда скорость первого - (х+10) км/ч. так как расстояние  равно 560 км, то время которое затратил второй  автомобиль на прохождение пути будет (560/х) ч,  а первого автомобиля (560/(х+10)) ч.  составим уравнение: (560/х) - (560/(х+10)) = 1560(х+10)-560х=х(х+10)х²+10х-5600=0d = 100 + 4*1*5600 = 22500x = (- 10 -150)/2x = - 80  не удовлетворяет  условию x = (- 10 + 150)/2x = 70  тогда скорость второго автомобиля 70 км/ч, а скорость первого автомобиля 70+10=80 км/чответ: 80 км/ч; 70 км/ч.