Вычислите значение производной функции у=14=2х-3 в точке х0=26​

Задание 1.

Выберем в стандартный базис (то есть векторы и ). В выбираем тоже стандартный базис. Образы базисных векторов: . Здесь уже есть два линейно независимых вектора: и , а потому (а базис приведен чуть выше). Теперь ясно какая размерность ядра: . Элементы ядра должны удовлетворять системе . Уже отсюда можно было понять, что размерность ядра равна двум: четыре переменные и два уравнения, ограничивающие их. Тогда положив , получим, например, решение , а для подойдет . Итого два вектора: . Линейная независимость этих векторов гарантирует, что они являются базисом ядра.

Задание 2.

Чтобы показать, что является базисом в достаточно показать, что она линейно независима (достаточно, поскольку вектора два, а размерность равна двум). В нашем случае система состоит из одного вектора и потому не может быть базисом в . Часть 2 решить все-таки не могу, поскольку -- не базис.

Задание 3.

(A)

, , .

(B)

Поскольку размерность равна трем, то для того чтобы показать, что -- базис, достаточно показать, что они линейно независимы. Это легко видеть хотя бы потому, что ранг матрицы равен трем (поскольку ее определитель, равный , ненулевой).

Задание 4.

В нашем случае имеем систему . Количество решений зависит от размерности пространства, которое задает данная система. По сути, можно рассматривать отображение такое, что . Тогда система задает ядро этого отображения, размерность которого в новой интерпретации ищется просто -- точно так же, как мы делали это в первой задаче. Образы базисных векторов: дальше считать не стал, поскольку уже первые два вектора линейно независимы. Значит, размерность образа равна двум, но тогда ядро имеет размерность . Следовательно, ядро как множество бесконечно (было бы конечным только в случае нульмерного ядра). То есть имеем две свободные переменные. Например, систему можно свести к , тогда переменные будут базисными, а -- свободными. Ненулевое решение предъявить просто: Пространство решений есть ядро ,  а поскольку его размерность два, нам достаточно найти два линейно независимых решений системы. Одно мы уже нашли. Теперь положим и тогда -- решение. Но это два линейно независимых решения, а потому они образуют базис пространства решений.

Задание 5.

1. В нашем случае . Легко видеть, что берутся числа вида , то есть и потому , значит, состоит из тех и только тех чисел, у которых две последние координаты нулевые. Следовательно, является подпространством, потому что это множество замкнуто относительно суммы () и умножения на скаляр.

2. . Несмотря на то что это множество замкнуто относительно суммы, оно не замкнуто относительно умножения на скаляр. В самом деле, например, лежит в множестве, однако -- не лежит. Следовательно, это множество не является подпространством.

3. . Здесь те же причины: лежит в множестве, а   -- нет.

https://tex.z-dn.net/?f=49c%5E2-14c%2B1-21ac%2B3a%3D(7c-1)%5E2-3a(7c-1)%3D%5C%5C%3D(7c-1)(7c-1-3a)%5C%5C%5C%5Cax%5E2%2Bay%5E2%2Bx%5E4%2B2x%5E2y%5E2%2By%5E4%3Da(x%5E2%2By%5E2)%2B(x%5E2%2By%5E2)%5E2%3D%5C%5C%3D(x%5E2%2By%5E2)(a%2Bx%5E2%2By%5E2)%5C%5C%5C%5C27c%5E3-d%5E3%2B9c%5E2%2B3cd%2Bd%5E2%3D(3c-d)(9c%5E2%2B3cd%2Bd)%2B9c%5E2%2B3cd%2Bd%3D%5C%5C%3D(9c%5E2%2B3cd%2Bd)(3c-d%2B1)%5C%5C%5C%5C(b%5E3-2b%5E2-2b%2B1)%3D(b%2B1)(b%5E2-b%2B1)-2(b%2B1)%3D%5C%5Chttps://ru-static.z-dn.net/files/dca/0a8ced0746dc4a953b38c4cb8fbf057b.png%3D(b%2B1)(b%5E2-b%2B1-2)%3D(b%2B1)(b%5E2-b-1)