Решить уравнение x^3-4x^2-5x+14 если один корень равен -2

X³-4x²-5x+14  I_x+2_
x³+2x²           I x²-6x+7

     -6x²-5x
     -6x²-12x
    
             7x+14
             7x+14
            
                    0
x²-6x+7=0   D=8
x=(3+√8)/2   x=(3-√8)/2    x=-2.

ответ:   5-10*x-5y

Объяснение:

Первый не рациональный)

1) log(3; 126) = log (3; 3^2 *7 * 2) = log(3; 3^2) +log(3; 7) +log(3; 2) =

=  2+log(3; 7) +log(3; 2) = 1/x

2) log(7; 126) = log(7; 3^2) +log(7; 7) +log(7; 2) = 2*log(7; 3) +1 + log(7; 2) = 1/y

log(126; 32) = log(126; 2^5) = 5* log(126; 2) = 5/log(2; 126) ) =

= 5/( log(2; 3^2) +log(2; 7) +log(2; 2) ) = 5/(  2*log(2; 3) +log(2; 7) +1)

log(3; 7) = log(126; 3)/log(126; 7) = x/y

log(7; 3) =y/x

Из равенства 1 следует :

log(2; 3) = 1/( 1/x - 2 -x/y)  = x*y/( y -2*x*y -x^2)  

Из равенства 2 следует :

log(2; 7) = 1/( 1/y - 2*y/x -1) = x*y/( x -2*y^2 -x*y)

log(126; 32) = 1/( 2*x*y/( y -2*x*y -x^2) + x*y/( x -2*y^2 -x*y) +1 )

Второй рациональный)

log(126; 126) = log(126; 3^2 *7 *2) = log(126; 3^2)+log(126; 7)+log(126; 2) = 2*log(126; 3) +log(126; 7) +log(126; 2) =  1

log(126; 2) = 1-2*x-y

5*log(126; 2) =5-10*x-5*y

log(126; 32) = 5-10*x-5*y

Но значит ли это, что первый ответ неправильный?

Не совсем так.

Дело в том, что если решить, например, такую систему уравнений:

1-2*x-y = 1/( 2*x*y/( y -2*x*y -x^2) + x*y/( x -2*y^2 -x*y) +1 )

126^x +126^y = 10

То одним из решений этой системы будет :

x= log(126; 3)

y=log(126; 7)

Уравнение четвертой степени имеет максимум 4 корня.

Если все они действительные - то согласно правилу знаков Декарта - все они положительные , так как знак коэффициентов меняется 4 раза.  ( + - + - + )

Согласно теореме Виетта сумма корней уравнения n - степени равна частному от деления коэффициента при степени n-1 на коэффициент при n - степени с противоположным знаком .

В нашем случае это  26/1 = 26

Определим точки перегиба функции в левой части Уравнения

f"(x) = (x^4-26x^3+160x^2-100x+7)" = 12x^2 - 156x +320

f"(x) =0

12x^2 - 156x +320 =0

x12 = 13/2 +- √561 / 6

x1 ≅ 2.5

x2≅10.4

- Точки перегиба

Все Корни уравнения положительные .

f(0) >0

f(2,5) >0

посмотрим есть ли на интервале от 0 до 2.5 отрицательные значения функции и соответственно 2 корня

f(0,5) = (0.5)^4-26*(0.5)^3+160*(0.5)^2-100*(0.5)+7 = -6.1875

Есть  2 действительных корня .

Посмотрим значение функции за второй точкой перегиба

f(12)=  (12)^4-26*(12)^3+160*(12)^2-100*(12)+7 = -2345

При больших X - значение функции положительно ( так коэффициент при 4 степени положительный )

Значит уравнение имеет 4 действительных корня и их сумма по теореме Виетта равна 26