Надо. при каком значении " а " прямые 2y = ax - 6 и y = 5x + 3 перпендикулярны?

2y=ax-6            y=5x+3
ax-2y-6=0         5x-y+3=0
n{a;-2} - нормальный вектор к прямой а
m{5;-1} - нормальный вектор к прямой b
Если n*m=0, то прямые будут перпендикулярны.
a*5+(-2)*(-1)=0
5a+2=0
5a=-2
a=-2/5
a=-0,4

Док-во от противного:
Если корень из двух (далее к2) рационален, значит к2 = m/n, где m и n натуральные числа причем дробь m/n несократимая. (по определению рационального числа)

возведем обе частив квадрат получаем 2 = m*m/n*n, домножаем обе части на n*n получаем 2*n*n = m*m
делаем вывод, что m - четное число, а значит m = 2*m1.
получаем 2*n*n = (2*m1)*(2*m1), далее 2*n*n = 4*m1*m1, значит n*n = 2*m1*m1 из этого следует что n тоже четное число.

Получиили что и n и m четные числа, значит дробь можно сократить (поделить числитель и знаменатель на 2, но это противоречит условию что дробь несократима. ПРОТИВОРЕЧИЕ. значит к2 иррационален.

Можно решить эту задачу
I Первый как известно корни уравнения связаны между собой По  теореме Виета , следующими условиями. Пусть корни данного уравнения равны 
Теперь сами условию 

то есть второй корень равен 3.
Теперь решим систему , затем найдем параметр а если он один

 Очень страшные корни получились , НО ПРОВЕРИМ НАШИ КОРНИ НА ВЕРНОСТЬ!
ЕСЛИ ОНИ СОСТАВЛЯЮТ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ ТО ОНИ ДОЛЖНЫ УДОВЛЕТВОРИТЬ ТАКОМУ СООТНОШЕНИЮ 

ответ при а=16 

Второй
пусть наши корни равны 

Если открыть и решим систему приравнять каждый  элемент соответствующий другому элементу 
то есть 

получим тот же ответ