Решите тригонометрическое уравнение: (найдите t1 и t2) cosx> 1/2

Решение
cosx > 1/2
- arccos(1/2) + 2πn < x < arccos(1/2) + 2πn, n ∈Z
2π/3 + 2πn < x < π/3 + 2πn, n ∈Z

Для острых углов известно соотношение   sinα<α<tgα . α=1/(n+6) стремится к 0 при n->∞.

tg1/(n+6)>1/(n+6).

 Исходный ряд сравним с рядом ,общий член которого 1/(n+6).Этот ряд расходящийся, так как его можно сравнить с расходящимся обобщённо-гармоническим рядом  ∑1/n : lim (1/n)/(1/n+6)=1≠0 при n->∞  ⇒ оба ряда ∑1/n и ∑1/(n+6) расходятся.

 

Ряд ∑1/(n+6) является минорантным, а ряд ∑tg1/(n+6) мажорантным. Из расходимости минорантного ряда следует расходимость мажорантного.  ⇒∑tg1/(n+6) - расходящийся ряд.

 

 

 

 

Дано  уравнение cosx=1/(1- tgx).

сosx*(1 - tgx) = 1.

сosx - сosx*tgx = 1.

Заменим tgx = sinx/cosx,

сosx - сosx*( sinx/cosx) = 1.

cosx – sinx = 1.

Заменим sinx = √(1 – cos²x)

cosx - √(1 – cos²x) = 1.

Перенесём корень вправо, а 1 влево и возведём обе части в квадрат.

cos²x – 2cosx + 1 = 1 – cos²x,

2 cos²x – 2cosx = 0,

2cosx(cosx - 1) = 0.

Имеем 2 решения: cosx = 0 и cosx  = 1.

Находим значения х:

x =  arc cos 0 отбрасываем, так как при этом функция тангенса не имеет определения.

x =  arc cos(1) = 2πn, n ∈ Z.

ответ: в заданном промежутке имеется 3 корня уравнения

-2π, 0, 2π.

.