Найти интеграл от икса умноженного на арксинус икс

∫(x*arcsin(x)dx

пусть

    u=arcsin(x)       du=dx/√(1-x^2)

    dv=xdx               v=x^2/2

далее интегрируем по частям

  ∫(x*arcsin(x)dx=x^2*arcsin(x)/2   -(1/2)*∫(x²dx/√(1-x²)=

пусть

    x=sin(t)

    dx=cos(t)

=x²*arcsin(x)/2   -(1/2)*∫(sin²(u)cos(u)du/√(1-sin²(u))=

=x²*arcsin(x)/2   -(1/2)*∫(sin²(u)cos(u)du/cos(u))=

=x²*arcsin(x)/2   -(1/2)*∫(sin²(u)du=

=x²*arcsin(x)/2   -(1/4)*∫(1-cos(2u)du=

=x²*arcsin(x)/2   -du/4 +(1/4)*∫cos(2u)du=

=x²*arcsin(x)/2   -u/4 +(1/8)*sin(2u)+c=

=x²*arcsin(x)/2   -arcsin(x)/4 +(x*√(1-x²)/4)*sin(2u)+c

 

 

      дано:   тр. авс:   < a =60; < c =90; ac =12 cм               м∈ав   к∈ас     < m =90     bm =4см                 найти   ск       решение:             < b = 189 -90-60=30. тр. abc - прямоугольный, катет,           лежащий против угла 30 градусов, равен половине              гипотенузы, ас =ав/2 >   ab =2*ac =12*2=24(см)                   ма=ав-вм=24-4 =20(см) тр.мка - прямоугольный, ма - катет, лежащий против  < k=180-90-60 =30, > ak=2*ma = 40(cм) ск=ак-са =40-12 =28(см)                                       в                                     | \                                     |     \   m                                     |   /  \                                     |/       \                                   / |         \                                 /   |           \                               /|                           k       c               a

y= x²-4x+3

y= ax²+bx+c

a= 1, b= -4, c= 3

1) Координаты вершины параболы:

х(в)= -b/2a = -(-4)/(2*1)= 4/2=2

у(в) = 2²-4*2+3= 4-8+3=-1

V(2; -1) - вершина параболы

2) Ось симметрии параболы проходит через вершину параболы параллельно оси Оу, значит, ось симметрии можно задать уравнением х=2

3) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оу:  х=0, y(0)=0²-4*0+3=3  

Значит, (0;3) - точка пересечения параболы с осью Оу

с осью Ох: у=0, x²-4x+3=0

                          D=(-4)²-4*3*1=16-12=4=2²

                          x₁=(4+2)/2=6/2=3

                          x₂=(4-2)/2=2/2=1

                         (3;0) и (1;0) - точки пересечения с осью Ох

4) Строим график функции:

Уже найдены вершина параболы и точки пересечения с осями координат. Точка (4;3) - расположена симметрично точке (0;3) относительно оси  симметрии параболы

5) По рисунку видно, что график функции находится в I, II и IV четвертях.