(х-1)(х-2)+х(х-1)+х(х-2)> равно 2

(х-1)(х-2)+х(х-1)+х(х-2)> = 2

x^2-3x+2+x^2-x+x^2-2x-2> =0

3x^2-6x> =0

3x(x-2)> =0

3x(x-2)=0

1)3x=0

x=0

2)x-2=0

x=2

  +         -       +

0 2 > x

 

x=(-∞; 0]u[2; +∞)

1. При каких значениях а уравнение sin ^2 x - (a+3) sin x + 3a = 0 не имеет решений ?

2. Решите уравнение cos ^2 x + cos 4x = a , если одно из его решений п/3

Участник Знаний

1. Квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен.

\sin^2x-(a+3)\sin x+3a=0\\\sin x=t,\;\sin^2x=t^2,\;-1\leq t\leq1\\t^2-(a+3)t+3a=0\\D=(-(a+3))^2-4\cdot1\cdot3a=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2\\(a-3)^2

Последнее неравенство не имеет решений. Значит, исходное уравнение имеет решение (-ия) при любых а.

2.\;\cos^2x+\cos4x=a\\\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\\\cos^2x+8\cos^4x-8\cos^2x+1=a\\8\cos^4x-7\cos^2x+(1-a)=0\\\cos^2x=t,\cos^4x=t^2,\;0\leq t\leq1\\8t^2-7t+(1-a)=0\\D=49-4\cdot8\cdot(1-a)=49-32+32a=17+32a\\t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}

Один из корней п/3, значит x=\frac\pi3\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow\cos^2x=t=\frac14

\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\Rightarrow\begin{cases}\frac{7+\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\\\frac{7-\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{7+\sqrt{17+32a}}=4\\{7-\sqrt{17+32a}}=4\end{cases}\Rightarrow\\

\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{17+32a}=-3\\\sqrt{17+32a}=3\end{cases}\Rightarrow 17+32a=9\Rightarrow32a=-8\Rightarrow a=-\frac14=-0,25\\t_1=\frac{7+\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7+\sqrt{9}}{16}=\frac{10}{16}=\frac58\\t_2=\frac{7-\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7-\sqrt{9}}{16}=\frac{4}{16}=\frac14\\\cos^2x=\frac14\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\\cos^2x=\frac58\Rightarrow\cos x=\sqrt{\frac58}\Rightarrow x=\arccos\left(\sqrt{\frac58}\right)+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}

Объяснение:

Замена переменной: t=x² t²=x⁴ t²-3t+2≤0 t²-3t+2=0 d=(-3)²-4*2=9-8=1 t₁=(3-1)/2=1 t₂=(3+1)/2=2       +                   -                   + 1 2                   \\\\\\\\\\\\\\\\\ t∈[1; 2] 1≤t≤2 1≤x²≤2 {x²≥1 {x²≤2 x²≥1 x²-1²≥0 (x-1)(x+1)≥0 x=1       x= -1       +                 -                 + - -1 1 \\\\\\\\\\\\\                     \\\\\\\\\\\\\\\ x∈(-∞; -1]u[1; +∞) x²≤2 x²-(√2)²≤0 (x²-√2)(x²+√2)≤0 x=√2       x= -√2         +                 -                   + -√2   √2                     \\\\\\\\\\\\\\ x∈[-√2;   √2] {x∈(-∞; -1]u[1; +∞) {x∈[-√2;   √2] ⇒ x∈[-√2; -1]u[1;   √2] ответ: [-√2; -1]u[1;   √2].