8класс. два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл a и b. первый прибыл в b через 16 минут после встречи, а второй прибыл в a через 25 минут после встречи. через сколько минут после выезда из своих сёл они встретились? (решить с рационального уравнения

25-16=9 мин
ответ: Встретились через 9 после выезда двоих! 

1. а) 1+2сos(α)=2cos^2(α)
б) sin(10)+cos(20)=sin(10)+cos^2(10)-sin^2(10)=sin(10)+1-2sin^2(10)=-(2sin^2(10)-sin(10)-1)=-(sin(10)+0,5)(sin(10)-1)=(sin(10)+0,5)(1-sin(10)).
2. Рассмотрим левую часть:
(2сos^2α-1)/(sin2α) + (sin3α-sinα)/(cos3α+cosα)=(1+сos2α-1)/(sin2α) + (3sinα-4sin^3α-sinα)/(4cos^3α-3cosα+cosα)=(cos^2α-sin^2α)/(2sinαcosα) - (4sin^3α-2sinα)/(4cos^3α-2cosα)=(cos^2α-sin^2α)/(2sinαcosα) - (sinα(2sin^2-1))/(cosα(2cos^2-1))=(cos^2α-sin^2α)/(2sinαcosα) + sinα/cosα=(cos^2α-sin^2α+2sin^2α)/(sin2α)=(cos^2α+1-cos^2α)/(sin2α)=1/(sin2α).   ЧТД

Мой ответ удалили как неполный, теперь даю полный, на все задачи.
1) 2sin^2 x + sin x - 3 = 0
Обычное квадратное уравнение относительно sin x.
(sin x - 1)(2sin x + 3) = 0
sin x = 1; x = pi/2 + 2pi*k
sin x = -3/2; решений нет
ответ: x = pi/2 + 2pi*k

2) cos^2(pi - x) - sin(pi/2 - x) = 0
По формулам приведения
(-cos x)^2 - cos x = 0
cos^2 x - cos x = 0
Обычное квадратное уравнение относительно cos x
cos x*(cos x - 1) = 0
cos x = 0; x1 = pi/2 + pi*k
cos x = 1; x2 = 2pi*n
ответ: x1 = pi/2 + pi*k; x2 = 2pi*n

3) 3sin x + 2cos x = 0
3sin x = -2cos x
Делим все на cos x и на 3.
tg x = -2/3
Это не табличное значение, поэтому
ответ: x = -arctg(2/3) + pi*k

4) 3sin x + 4cos x = 1
По формулам двойных углов
sin 2a = 2sin a*cos a; cos 2a = cos^2 a - sin^2 a
Вместо 2а подставляем х
3*2sin(x/2)*cos(x/2) + 4cos^2(x/2) - 4sin^2(x/2) = cos^2(x/2) + sin^2(x/2)
-5sin^2(x/2) + 6sin(x/2)*cos(x/2) + 3cos^2(x/2) = 0
Однородное уравнение, делим все на cos^2(x/2) и на -1.
5tg^2(x/2) - 6tg(x/2) - 3 = 0
Обычное квадратное уравнение относительно tg x
D/4 = 3^2 - 5(-3) = 9 + 15 = 24 = (2√6)^2
tg x1 = (3 - 2√6)/5
tg x2 = (3 + 2√6)/5
ответ: x1 = arctg((3 - 2√6)/5) + pi*k; x2 = arctg((3 + 2√6)/5) + pi*n

5) tg x = 3ctg x
tg x = 3/tg x
tg^2 x - 3 = 0
Обычное квадратное уравнение относительно tg x
(tg x - √3)(tg x + √3) = 0
tg x1 = √3; x1 = pi/3 + pi*k
tg x2 = -√3; x2 = -pi/3 + pi*n
ответ: x1 = pi/3 + pi*k; x2 = -pi/3 + pi*n

6) 3tg^2 x - √3*tg x = 0
Обычное квадратное уравнение относительно tg x
√3*tg x*(√3*tg x - 1) = 0
tg x1 = 0; x1 = pi*k
tg x2 = 1/√3; x2 = pi/6 + pi*n
ответ: x1 = pi*k; x2 = pi/6 + pi*n

7) sin 3x = cos 5x
cos 5x - sin 3x = 0
Формула приведения
cos 5x = sin(pi/2 - 5x)
sin(pi/2 - 5x) - sin 3x = 0
Формула разности синусов
sin a - sin b = 2sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2)
Подставляем a = (pi/2 - 5x) и b = 3x
2sin((pi/2 - 5x - 3x)/2)*cos((pi/2 - 5x + 3x)/2) = 0
2sin(pi/4 - 4x)*cos(pi/4 - x) = 0
sin(pi/4 - 4x) = 0; pi/4 - 4x1 = pi*k; x1 = pi/16 - pi/4*k = pi/16 + pi/4*k1
cos(pi/4 - x) = 0; pi/4 - x2 = pi/2 + pi*n; x2 = pi/4 - pi/2 - pi*n = -pi/4 + pi*n1
ответ: x1 = pi/16 + pi/4*k; x2 = -pi/4 + pi*n