1. дробь в числителе cos2t в знаменателе cost+sint от дроби отнять соst 2. решить уравнение cos8x=cos6x 3.доказать тождество 2sin^2(45°-2t)+4sin4t=1 4.вычислить sin72°+cos222°-sin12°

 1)сos 2t/(cost+sint)-cost=cos²t-sin²t)/cost+sint   -cost= (cos²t-sin²t-cos²t---sint*cost)/cost+sint=-sint(cost+sint)/cjst+sint=-sint
 2) cos8x-cos6x=0   2sin8x+6x)/2*sin(6x-8x)/2=0   2sin7x*sin(-x)=0
     sin7x=0      7x=πn.  n∈z    x=πn/7   n∈z
      sin(-x)=0  -sinx=0 sinx=0   x=πm.  m∈z
4)  sin72+cos(180+44)-sin12=(sin72-sin12)-cos44=2sin(72-12)/2cos(72+12)/2-cos44=
      2sin30*cos44-cos44=cos44(2*1/2-1)=cos44*0=0

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить
дифференцированием.
а) ∫(3x^2+4/x+cosx+1)dx=x³+4·ln IxI+sinx +x +C 
проверка:
(x³+4·ln IxI+sinx +x +C)'=3x²+4/x +cosx+1  -  верно

б) ∫[4x/√(x^2+4)]dx=    [ (x^2+4)=t     dt=2xdx ]   =∫2dt/√t=4√t+c=4√(x^2+4)+c
проверка:
(4√(x^2+4)+c)'=[4(1/2)/√(x^2+4)]·2·x =4x/√(x^2+4)  -  верно

в) ∫-2xe^xdx  =-2 ∫xe^xdx= [ x=u         e^xdx=dv  ]
                                           [ dx=du       e^x=v      ]

-2 ∫xe^xdx=-2( u·v- ∫vdu)=-2(x·e^x-∫e^x·dx)=-2(x· e^x-e^x)+c=-2·(e^x)·(x-1)+c
проверка:
(-2·(e^x)·(x-1)+c)'=-2((e^x)'·(x-1)+(e^x)·(x-1)')=-2((e^x)·(x-1)+(e^x))=-2(e^x)·x
=-2x·(e^x) - верно

1)Все жители не могут быть лгунами, иначе  каждый из них сказал бы правду(противоречит условию).

2)Возьмем случайного рыцаря. Из утверждения вытекает, что лжецов на острове больше, чем (2015−1)\2=1007, то есть не менее 1007 лжецов.

3)Возьмем случайного лжеца. Его заявление ложно,т.к. кроме него не более половины жителей острова — лжецы. получается,  что кроме него на острове не более 2014\2=1007 лжецов (то есть не более 1007), т.е. вместе с ним лжецов не более 1007.

 4)из 2) и 3) следует, что: единственный вариант - это  когда на острове ровно 1007 лжецов.