Решить пример: найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой через точку а, к графику функции f(x) f(x) = 4x в квадрате + 3х а( 1 ; 7 )

F(x)=4x² +3x
т.А (1; 7)

1) Проверим, является или не является т.А (1; 7) точкой касания:
7=4*1² + 3*1
7=4+3
7=7
т.А (1; 7) принадлежит графику функции f(x)=4x² +3x и является точкой касания. 
Значит, х₀=1.

2)  f ' (x)= 8x+3
tgα= f ' (x₀)=f ' (1)= 8*1 + 3=11

ответ: 11.

А+ 1/а ≥2
(а·а+1) / а ≥ 2   обе части умножаешь на знаменатель   а
а²+1≥ 2·а
а²-2а +1≥0   Сначала приравняй к нулю, найди корни через дискриминант
а²-2а +1=0     Д= b²-4ac= (-2)²-4·1·1= 0 значит корень один!
а = (-b)/ 2a= 2/2 =1
Рисуй луч, лтложи на нём точку а= 1 ( корень)

1⇒  

В первом интервале (от -∞ до 1) возьми пробную точку, например 0,
подставь в нерав-во а+ 1/а ≥2     0 +1/0 ≥2 неверно,на ноль делить нельзя
далее возьми проб точку из интервала от 1 до +∞,например 2
подставь в нерав-во   2+1/2≥2 верно, значит ответ буде, учитывая, что на ноль делить нельзя    Х∈ от 1 до +∞, включая 1, так как неравенство нестрогое ≥

Объяснение:

Область значения функции - это множество, которое может принимать y

1) y = x² - 3x.

График - парабола. Так как ветви вверх, то минимальное значение находится в вершине.

y = -D/4a, где D = b² - 4ac

D = 9 - 4 * 1 * 0 = 9 - 0 = 9

y(min) = -9/4 = -2.25

Значит, множество значений y: [-2.25; +∞)

б) y = √x

Так как корень из числа - число неотрицательное, то множество значений такой функции равно y: [0; +∞)

в) y = 2/x

График - гипербола, ветви которых расположены в I и III четвертях. Данная функция имеет точку разрыва второго рода в точке x = 0, где стремится к -∞ слева, а к +∞ справа. Таким образом, множество значений этой функции y = (-∞; 0) ∪ (0;+∞)

г) y = √(x²) = |x|.

Модуль - функция неотрицательная, таким образом, ее область значений такая же, как и в пункте б)

y ⊂ [0; +∞)

д) y = 1/(2x-3)

Точно такая же гипербола, как и в пункте в)

Объяснение такое же:

y ⊂ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

е) y = 2x^4 + 3x² + 1

Выполним замену x² = t, получим:

y(t) = 2t² + 3t + 1.

Снова парабола, ветви вверх, значит, минимальное значение в вершине. Подробнее я расписал пункт а)

y = -D/4a; D = b² - 4ac = 1

y = -1/4 = -0.25

y ⊂ [-0.25; +∞)