Вычислите: tg 1⁰ * tg 2⁰ * tg 3⁰ * * tg 89⁰

  tg 1⁰ * tg 2⁰ * tg 3⁰ * * tg 89⁰=

= tg 1⁰ * tg 2⁰ * tg 3⁰ * 44⁰*tg45⁰*tg46⁰.. * tg 89⁰=

=tg 1⁰ * tg 2⁰ * tg 3⁰ * 44⁰*tg45⁰*ctg44⁰.. * ctg 1⁰=

=(tg 1⁰* ctg 1⁰)*(tg 2⁰* ctg 2⁰)**(tg 44⁰* ctg 44⁰)*tg45⁰=

=1*1*..*1*1=1

ответ: 1

так как tg(90⁰-x)=ctg x

tg x * ctg x=1

tg1*tg2**tg89=(tg1*tg89)*(tg2**(tg44*tg46)*tg45=

=(cos(88-cos90)/(cos88+cos90))*(cos(86-cos90)/(cos86+cos90))*(2-cos90)/(cos2+cos90))*tg45=

=cos88/cos88 + cos86/cos86**cos2/cos2 *tg45=1

1/p + 1/q +1/pq = 1/n. преобразуем данное равенство к виду (1 + p + q)/pq =1/n => pq=n(1 + p + q) => 1 + p + q = pq/n. поскольку 1 + p + q - натуральное число, то pq/n также натуральное, т. е. должно выполняться одно из условий: либо n = p, либо  n = q, либо  n = 1, либо n = pq. при n = pq, 1 + p + q = 1 => p + q = 0, что невозможно  при n = p имеем 1 + p + q = q =>   1 + p = q - q = 0, что невозможно. точно так же при n = q, 1 + p + q = p =>   1 + q = p - p = 0, что тоже невозможно. остается вариант n = 1. тогда 1 + p + q = pq => 1 = pq - p - q. положим q < p = p - k, где  k - натуральное. тогда pq - p - q = p*(p - k) - p - p +k = p^2 - pk - 2p + k = 1 => p*(p - 2) - k*(p - 1) = 1 => k*(p - 1) = p*(p - 2) - 1 => k = (p^2 - 2p  - 1)/(p - 1) = ((p - 1)*(p + 1) - 2p)/(p-1) = p + 1 - 2p/(p - 1). видим, что 2p должно нацело делиться на p - 1. т. е. либо p - 1 = 2p и тогда p = -1, что невозможно, либо p - 1 = 1, либо p - 1 = 2. тогда p = 2 или p = 3. в свою очередь  k = p + 1 - 2p/(p - 1) = 2 + 1 - 4 = 3 - 4 = -1 - не подходит, поскольку k - натуральное. либо  k = 3 + 1 - 6/2 = 4 - 3 = 1. итак k = 1, значит q = p - k = 3 - 1 = 2. тогда   имеем решения: p = 3, q =  2 или p = 2,  q = 3.  действительно,  в этом случае  pq - p - q = 2*3 - 2 - 3 = 6 - 5 = 1.

ответ: n = 1, p = 3, q =  2 или n = 1, p = 2, q = 3.

(10x²-1)/(x-1)(x+2)² = (ax-3)/(x+2)² + b/(x+2) + c/(x-1) => (10x²-1)/(x-1)(x+2)² = ((ax-3)(x-1) + b(x+2)(x-1) + c(x+2)²)/(x+2)²(x-1) => 10x²-1 = (ax-3)(x-1) + b(x+2)(x-1) + c(x+2)² = ax²-ax-3x+3+bx²-bx+2bx-2b+cx²+4cx+4c = (a+b+c)x² + (b+4c-a-3)x+3-2b+4c => a+b+c = 10, b+4c-a-3 = 0, 3-2b+4c = -1. сложим первое и второе равенства: a+b+c+b+4c-a-3 = 10 => 2b+5c = 13 => 2b = 13-5c. подставим этот результат в третье равенство: 3-13+5c+4c = -1 => 9c = -1+10 = 9 => c = 1. тогда из 3-2b+4c = -1 следует, что 2b = 4(c+1) => b = 4(c+1)/2 = 4*2/2 = 4. и  a = 10 - 1 - 4 = 5.

ответ: a = 5, b = 4, c = 1.