Существуют ли такие нецелые числа x, y, что числа 6x+5y и 13x+11y-целые?

Если 6х+5у - целое. то и 2*(6х+5у)=12х+10у тоже целое.
Если 13х+11у целое, то разность целых чисел (13х+11у)-(12х+10у)=13х+11у-12х-10у=х+у тоже целое.
Домножим целое число х+у на 5. (х+у)*5=5х+5у
Разность целых чисел 6х+5у и 5х+5у должна быть целым числом.
6х+5у-5х-5у=х  целое. Следовательно таких нецелых чисел не существует.

1 - это расстояние от А до В
х - скорость второго автомобиля
1,5 х - скорость первого автомобиля



- скорость второго автомобиля

- скорость первого автомобиля

- скорость сближения автомобилей

часов - через это время автомобили встретились

А вот если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью что и первый, т.е. их скорости были бы равны , то:

- была бы скорость сближения и встретились бы они через 5 часов, т.е.

часов

6 - 5 = 1 час = 60 минут

ответ: на 60 минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью что и первый.

Линейное диофантово уравнение  7х+4у=123.
Если коэффициенты перед х и у простые числа, то это уравнение имеет решение в целых числах. 
НОД(7,4)=1  ⇒  7 и 4 - простые числа.
Подберём частное решение    . В этом уравнении это сделать не совсем просто, поэтому воспользуемся теоремой:
чтобы найти решение уравнения  ах+ву=с при взаимно-простых а и в, нужно найти решение    уравнения  ах+ву=1.
Тогда числа    составляют решение
уравнения ах+ву=с .
 7х+4у=1   ⇒     .





Из (*)  вычтем (**) , получим:



Чтобы (у-246) было целым, надо чтобы (х+123) нацело делилось на 4, то есть  х+123=4к   ⇒  х=4к-123 , k∈Z .
Тогда  

ответ:  ,