Выражение: (y-3)(y^2+3y+9)-y(y-4)(y+4)

Решение смотри в приложении

((y-3)(y²+3y+9)-y(y-4)(y+4)=y³-27-y³+16y=16y-27

A)5x^2 - 9x - 2 = 0

D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4·5·(-2) = 81 + 40 = 121

x1 = (9 - √121)/2·5 = (9 - 11)/10 = -2/10 = -0.2

x2 = (9 + √121)/2·5 = (9 + 11)/10 = 20/10 = 2

б)2x^2 + 3x - 2 = 0

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25

x1 = (-3 - √25)/2·2 = (-3 - 5)/4 = -8/4 = -2

x2 = (-3 + √25)/2·2 = (-3 + 5)/4 = 2/4 = 0.5

в)2x^2 + 7x + 3 = 0

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4·2·3 = 49 - 24 = 25

x1 = (-7 - √25)/2·2 = (-7 - 5)/4 = -12/4 = -3

x2 = (-7 + √25)/2·2 = (-7 + 5)/4 = -2/4 = -0.5

г)5x^2 - 8x - 4 = 0

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4·5·(-4) = 64 + 80 = 144

x1 = (8 - √144)/2·5 = (8 - 12)/10 = -4/10 = -0.4

x2 = (8 + √144)/2·5 = (8 + 12)/10 = 20/10 = 2

а⁴ + b⁴ ≥ а³b + аb³

1)

а⁴ + b⁴ - а³b - аb³ ≥ 0

а³(а-b) - b³(а-b) ≥ 0

(а-b)(а³-b³) ≥0

(а-b)(а-b)(а²+аb+b²) ≥0

(а-b)²·(а²+аb+b²) ≥0

2)

Первая скобка всегда больше или равна 0, остаётся доказать, что вторая скобка тоже всегда больше или равна 0.

а²+аb+b² ≥0 

a) Докажем для неотрицательных a и b.

(a²+ab+ab+b²)-ab ≥ 0

(a² + 2ab + b²) ≥ ab

(a+b)² ≥ ab

а+b ≥ √аb 

 Это неравенство справедливо как следствие из теоремы Коши для среднего арифметического и среднего геометрического:

(а+b)/2 ≥ √аb

Таким образом, всегда справедливо неравенство во второй скобке

(a²+ab+b²) ≥ 0.

2) Докажем справедливость неравенства  (a²+ab+b²) > 0 для  отрицательных значений a и b.

a<0;  b<0

a²>0;  b²>0 - первое и третье слагаемые a² и  b² всегда положительны

ab>0,  как произведение двух отрицательных(минус × минус = плюс)

Сумма положительных слагаемых тоже положительна: 

(a²+ab+b²) > 0

3) Докажем справедливость неравенства  (a²+ab+b²) > 0 для  значений a и b, различных по знаку:  a>0;  b<0.

(a²+ab+ab+b²)-ab > 0

(a² + 2ab + b²) > ab

(a+b)² > ab

Это неравенство справедливо, т.к. 

(a+b)² ≥ 0 

ab < 0 (плюс × минус = минус)

Положительное число больше отрицательного.

Таким образом все три варианта доказывают справедливость неравенства 

(а²+ab+b²)≥0. Что и требовалось доказать.