Тригонометрические уравнения: 1)3cos квадрат 7x+sin7x-1=0 2)8-6cos квадрат 5x+7sin5x=0 3)5sin2x+9cos2x=0

1.
3cos²7x+sin7x-1=0 ;
3(1-sin²7x)+sin7x -1=0 ;
3sin²7x -sin7x-2 =0 ; * * * замена  t = sin7x  * * *
3t² -t -2 =0 ;   * * * D =1²-4*3*(-2) =5²
t₁=(1-5)/(2*3) =-2/3 ;
t₂=(1+5)/(2*3) =1.
а)
sin7x = -2/3 ⇒7x =(-1)^(n+1) arcsin(2/3) +πn ;
   x =(1/7)*(-1)^(n+1) arcsin(2/3) +πn/7, n∈Z.
б)
sin7x =1⇒7x =π/2 +2πn , n∈Z 
   x =π/14 +2πn/7, n∈Z .

2)
8-6cos²5x+7sin5x=0 ;
8 -6(1-sin²5x+7sin5x=0 ;
6sin²5x+7sin5x +2 =0 
[ sin5x= -2/3  ; sin5x = -1/2.
а)
sin5x = -2/3 ⇒5x =(-1)^(n+1) arcsin(2/3) +πn ,n∈Z ;
   x =(1/5)*(-1)^(n+1) arcsin(2/3) +πn/7, n∈Z.
б) 
sin5x = -1/2  ⇒5x =(-1)^(n+1)*(π/6) +πn ,n∈Z
  x =(-1)^(n+1)*(π/30) +πn/5 ,n∈Z.

3)
5sin2x+9cos2x=0 ;
10sinx*cosx +9(cos²x -sin²x) =0 ;
9sin²x -10sinx*cosx -9cos²x =0 ;  || \cos²x ≠0 
9tq²x -10tqx -9 =0 ;  * * *замена t = tqx * * *
9t² -10t -9 =0  ;* * * D/4 =5² -9*(-9)= 106  * * *
[ tqx =(5-√106)/9 ;  tqx  =(5+√106)/9 .
 x =arctq(5-√106)/9 +πn ,n∈Z  или  x =arctq(5+√106)/9 +πn ,n∈Z .

² (x+1)(x-1)(x+3)(x+5)+7=0

конечно можно все премножить а потом решать уравнение четвертой степени и искать 4 корня, но когда видите или 4 или 8 скобок то есть прием, который называется - замена на средеарифметическую и потом понижение степени и все решается одним квадратным уравнением

Считаем среднее арифметическое того что стоит в кобках (-1+1+3+5)/4=2

делаем замену t=x+2

(t-1)(t-3)(t+1)(t+3)+7=0

(t²-1)(t²-9)+7=0

t²=z     z≥0

(z-1)(z-9)+7=0

z²-z-9z+9+7=0

z²-10z+16=0

D=10²-4*16=100-64=36        √D=6

z12=(10+-6)/2=8    2    оба корня устраивают 

переходим к t

t²=2        t12=+-√2

t²=8         t34=√8=2√2

переходим к x      t=x+2 то естьпросто прибавляем 2

x12=2+-√2

x34=2+-2√2

ответ   2-2√2     2-√2      2+√2       2+2√2

Пусть А - множество чисел от 1 до 500, делящихся на 3, В - множество чисел от 1 до 500, делящихся на 7, а С - множество чисел от 1 до 500, делящихся и на 3 и 7, т.е. на 21. Тогда АUВ \ С - это числа делящиеся на 3 или 7.

Найдем сначала количество чисел в первом множестве:
  500:3 = 166,6 => множество А содержит 166 элементов ( т.е. количество чисел от 1 до 500, делящихся на 3  -   166.
 
Далее найдем количество чисел от 1 до 500, делящихся на 7. 500:7 = 71,4 => множество В содержит 71 элемент.
 И наконец найдем количество чисел от 1 до 500, делящихся на 21. 500:21 = 23,8 => множество С содержит 23 элемента.
 
Тогда количество элементов в АUВ \ С равно ( 166 + 71) - 23 = 214
 
ОТВЕТ: 214 чисел от 1 до 500, делятся на 3 или 7.